4.2. ВЕКТОРНЫЕ КАНАЛЫ

Изображенная на фиг. 4.2 N-мерная векторная система связи является непосредственным обобщением системы связи при помощи одной случайной величины, рассмотренной в гл. 2 в связи с фиг. 2.34. Передатчик определяется множеством М векторов сигнала Когда передается вектор где

При передаче вектор искажается и на выходе векторного канала возникает вектор

Мы считаем, что векторный канал математически определен тогда и только тогда, когда известен весь набор из М условных плотностей распределения Для краткости обозначим это множество через как уже было принято в соотношении (2.104в).

Оптимальный приемник для нашей векторной системы связи определяется следующим образом: при условии, что принят любоц данный вектор, скажем где

оптимальный приемник по известным должен установить, какое из возможных входных сообщений имеет максимальную апостериорную вероятность. Точнее говоря, оптимальный приемник

Фиг. 4.2. Векторная система связи.

полагает всегда, когда

Доказательство оптимальности приемника максимальной апостериорной вероятности следует из того, что, когда приемник полагает тусловная вероятность правильного решения при определяется равенством

Безусловная вероятность правильного решения может быть записана в виде

Так как

то ясно, что максимальна тогда, когда максимальна для каждого принятого вектора Если два или более из имеют одну и ту же апостериорную вероятность, приемник может выбрать среди них значение произвольным образом, например то, которое имеет минимальный индекс, и это не повлияет на вероятность ошибки.

Определение апостериорных вероятностей следует из смешанной формы закона Байеса (2.103а):

Так как из события следует событие и наоборот, то мы имеем

И наконец, поскольку не зависит от индекса из соотношений и получаем, что оптимальный приемник, основываясь на наблюдении полагает всегда, когда решающая функция

максимальна при

Приемник, который определяет посредством максимизации только множителя без учета множителя называется приемником максимального правдоподобия. Такой приемник часто используется в тех случаях, когда априорные вероятности неизвестны. Если передаваемые сообщения равновероятны, приемник максимального правдоподобия обеспечивает минимальную вероятность ошибки.

ОБЛАСТИ РЕШЕНИЙ

Структура оптимального векторного приемника может быть пояснена на примере двумерных векторов, показанном на фиг. 4.3. Эти векторы задаются посредством координат Предположим, что имеется три возможных входных сообщения с известными априорными вероятностями Допустим также, что соответствующие передаваемые векторы

Фиг. 4.3. (см. скан) Пример векторной системы связи с тремя сигналами. а — три двумерных вектора сигналов и возможный принятый сигнал области решения.

Если теперь принимается некоторый вектор как показано на фиг. 4.3, то приемник, зная величины , которые определяют канал, может вычислить и, таким образом, определить методом, рассмотренным выше.

Заметим, что это вычисление может быть проделано для каждой точки в плоскости и что каждая такая точка поэтому соответствует одному и только одному из возможных входных сообщений Следовательно, правило решения сводится к разделению всей плоскости на непересекающиеся области, скажем , аналогичные показанным на фиг. 4.3, б. Каждая область содержит только такие точки, для которых всегда, когда принятый вектор находится в приемник полагает равным тк. Соответствие

определяет оптимальный приемник.

Области называются оптимальными областями решения и являются естественным обобщением интервалов решения, рассмотренных на фиг. 2.35. Для дальнейшего отметим, что при передаче оптимальный приемник совершает ошибку тогда и только тогда, когда попадает за пределы

Ясно, что понятие областей решения, которое для простоты мы проиллюстрировали на двумерной плоскости, непосредственно обобщается на случай произвольного числа возможных входов и соответственно сигналов определяемых произвольным числом измерений. Решающая функция, задаваемая тогда определяет разбиение -мерного пространства принятых сигналов на М непересекающихся областей решения