ПЛОТНОСТЬ СОВМЕСТНОГО ГАУССОВСКОГО РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Ковариация. Для любых двух случайных величип центральный момент

при называется ковариацией. (Центральный момент равен дисперсии величины Поскольку математическое ожидание обладает свойством линейности, то можно также записать

Коэффициент корреляции двух случайных величин определяется как

Ковариация двух гауссовских случайных величин с нулевыми средними равна Вспомнив, что условное среднее значение величины при условии равно получаем

Следовательно, параметр совпадает с коэффициентом корреляции двух случайных величин если дисперсии этих величин совпадают:

Коэффициент корреляции любых двух случайных величин всегда заключен в интервале в самом деле, поскольку математическое ожидание квадрата любой случайной величины неотрицательно, то

откуда получаем неравенство

Если то математическое ожидание, входящее в выражение (3.42а), равно нулю. Но второй момент случайной величины может обращаться в нуль, только если случайная величина равна нулю для всех элементарных событий, за исключением, быть может, совокупности элементарных событий, которое имеет нулевую вероятность, Итак,

где равенство случайных величин понимается в смысле соотношения

Соотношения согласуются с графиками, приведенными на фиг. 2.32 и 3,17. Если то и плотность совместного распределения вероятностей является импульсной функцией. В этом случае говорят, что плотность совместного гауссовского распределения вероятностей сингулярна.

Неравные дисперсии. С помощью соотношения задается плотность совместного гауссовского распределения для двух случайных величин с нулевыми средними и с равными дисперсиями. Плотность в случае неравных дисперсий получается из выражения путем элементарного преобразования:

При этом величины являются гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними и с центральными моментами

Коэффициент корреляции при этом преобразовании не меняется:

Плотность совместного гауссовского распределения двух случайных величин с нулевыми средними и с различными дисперсиями можно записать, используя выражение и связь новых величин с первоначальными соотношение :

Полагая для краткости получаем

Ненулевые средние значения. Общая плотность совместного двумерного гауссовского распределения получается из выражения дальнейшим преобразованием

в результате имеем

В выражении учтено, что преобразование, состоящее в прибавлении к случайным величинам постоянных не меняет их центральных

моментов, так что

Случайные величины имеют совместное гауссовское распределение вероятностей, если и только если плотность их совместного распределения задается соотношениями и Заметим, что плотность совместного гауссовского распределения в общем случае зависит только от средних значений, дисперсий и ковариации (или коэффициента корреляции) случайных величин. Отметим также еще раз, что две совместно гауссовские случайные величины являются статистически независимыми, если и только если ковариация этих величин равна нулю.

Общие линейные преобразования. Одним из наиболее важных свойств плотности совместного гауссовского распределения является то, что случайные величины, получающиеся в результате линейных преобразований гауссовских случайных величин, являются также гауссовскими. В этом разделе доказывается, что сформулированное утверлсдение справедливо для любого обратимого линейного преобразования, примененного к гауссовским случайным величинам с нулевыми средними Обобщение на случай к гауссопских случайных величин, к проводится в следующем разделе.

Рассмотрим сначала преобразование задаваемое равенством

Условие гарантирует обратимость этого преобразования. Если то зависят только от одной случайной величины и плотность сингулярна (т. е. содержит импульсы). В соответствии с равенством условная плотность распределения величины при условии есть

Умножая на получаем

Подставляя выражение в и упрощая, получаем после значительных (и неблагодарных) алгебраических преобразований

где

Отметим, что выражение снова имеет гауссовскую форму.

Далее рассмотрим обратимое преобразование пары величин в пару величин задаваемое равенствами

Записывая в виде

замечаем, что преобразование можно рассматривать как результат последовательных преобразования Поскольку на каждом шагу при этом получается совместное гауссовское распределение, то в результате также имеем совместное гауссовское распределение. Доказательство завершено.

Простым примером линейного преобразования является следующее:

где плотность совместного гауссовского распределения величин с нулевыми средними значениями и равными дисперсиями, задаваемая выражением Поскольку

то выражение преобразуется в равенство

Таким образом, случайные величины полученные поворотом системы координат, который задается формулами из статистически зависимых случайных величин и оказываются статистически независимыми. Выбирая угол поворота равным а не плотность совместного гауссовского распределения в общем виде можно преобразовать в плотность двух статистически независимых величин.

Выводы. Установлены четыре крайне важных свойства двух случайных величин, имеющих совместное гауссовское распределение вероятностей, т. е. величин с плотностью совместного распределения

1. Плотность совместного гауссовского распределения зависит только от средних значений дисперсий и коиариации

2. Если имеют совместное гауссовское распределение, то и каждая из этих величин является гауссовской.

3. Две случайные величины с гауссовским совместным распределением вероятностей статистически независимы, если и только если коварнадия этих величин равна нулю.

4. Результатом линейного преобразования случайных величин с гауссовским совместным распределением вероятностей являются новые случайные величины, также имеющие гауссовское совместное распределение вероятностей.

Вообще говоря, эти четыре свойства не верны, если совместное распределение двух случайных величин не является гауссовским.

В разд. 3.3 из многомерной центральной предельной теоремы выводится необходимость рассмотрения плотности совместного распределения вероятностей к случайных величин, которая называется -мерной гауссовской плотностъю. Случайный вектор, задаваемый этой плотностью, называется гауссовским случайным вектором, а его компоненты совместно гауссовскими случайными величинами. Мы увидим, что четыре свойства, которые сформулированы выше для без изменения переносятся на случай произвольного :

1. Плотность совместного распределения вероятностей гауссовского случайного вектора зависит только от средних значений и совокупности центральных моментов

2. Любое подмножество совокупности совместно гауссовских случайных величин также является совокупностью совместно гауссовских случайных величин.

3. Гауссовские случайные величины в количестве статистически независимы в совокупности, если и только если ковариации этих величин для всех и В этом случае

записано вместо и предполагается, что все

4. Любое линейное преобразование совокупности к совместно гауссовских случайных величин снова приводит к совместно гауссовским случайным величинам. В частности, линейная комбинация гауссовских случайных величин является гауссовской величиной.

Мы видели, что даже при алгебраические преобразования являются слишком утомительными и выражение в общем случае настолько громоздко, что выбор принимаемых обозначений превращается в проблему. При к 2 упрощение результатов путем использования матричных обозначении становится совершенно необходимым. Обзор способа введения матричных обозначений дается в приложении и результаты его используются в разд. 3.3 для вывода сформулированных выше свойств случайных величин с совместным гауссовским распределением. Поскольку в дальнейшем используются только сами эти свойства, а не их вывод, то разд. 3,3 может быть опущен при первом чтении.