СИСТЕМА ОРТОГОНАЛЬНЫХ СИГНАЛОВ И РОДСТВЕННЫЕ ЕЙ СИСТЕМЫ СИГНАЛОВ

Другим классом равновероятных сигналов, для которых легко вычислить минимально достижимую вероятность ошибки, является система М ортогональных векторов равной энергии. Ей родственны системы симплексных и биортогональных сигналов. При рассмотрении этих систем ортонормальные оси удобно нумеровать числами от до не от 1 до где размерность пространства сигналов.

Ортогональные сигналы. Если М равновероятных сигналов энергии взаимно ортогональны, так что и

оптимальные границы областей решения уже не являются прямоугольными, и их трудно представить себе наглядно. Проще описать их аналитически. Пусть единичный вектор вдоль координатной оси и

Заметим теперь, что квадрат расстояния от до принятого вектора

где составляющая вектора

Если передается сигнал то отсюда следует, что

Фиг. 4.36. Три ортогональных сигнала. При передаче сигнала правильное решение принимается тогда только тогда, когда меньше Жирные пунктирные линии являются линиями пересечения границ областей решения с плоскостями

тогда и только тогда, когда

т. е.

Как показано на фиг. 4.36, при передаче сигнала имеем

Таким образом,

где последнее равенство следует из того, что все величины статистически независимы и имеют одинаковые законы распределения. Умножая его на

и интегрируя, получаем, что для М равновероятных сигналов одинаковой энергии

где

Фиг. 4.37. (см. скан) Вероятность ошибки для ортогональных сигналок.

Вследствие симметрии

так что выражение (4.96а) является также формулой для безусловной вероятности правильного приема.

Интеграл в (4.96а) нельзя упростить, но он табулирован в [36] как функция график представлен на фиг. 4.37.

Симплексные сигналы. Рассмотренную выше идею о минимизации энергии полезно применить к совокупности равновероятных ортогональных сигналов. В соответствии с равенствами (4.74а) и (4.92а) минимизирующий сдвиг

Результирующая система сигналов

называется симплексом и является оптимальной т. е. обеспечивающей минимальное значение системой из равновероятных

сигналов с ограниченной энергией, используемых при наличии белого гауссовского шума. Симплексные сигналы для значений и 4 показаны на фиг. 4.38. Так как

то каждый из сигналов можно представить в виде линейной комбинации остальных. Следовательно, симплексных сигналов размещаются в пространстве измерений. В силу ортонормальности при всех значениях

Отсюда видно, что все сигналы, составляющие симплекс, имеют одинаковую энергию, которая в раз меньше энергии, требуемой для ортогональных сигналов при той же вероятности ошибки. (Сдвиг не влияет на величину При выигрыш составляет 3 дб; при больших выигрыш незначителен.

Равенство можно использовать в качестве определения симплекса. Заметим, что система из векторов которая удовлетворяет этому равенству, может быть преобразована в систему ортогональных векторов путем добавления к каждому из векторов вектора где единичный вектор, ортогональный ко всем

Биортогональные сигналы. Последней системой сигналов, которую мы здесь рассмотрим, является система биортогональных сигналов, показанная для случаев фиг. 4.39. Эта система может быть получена из исходной системы ортогональных сигналов присоединением к ней сигналов, противоположных по знаку исходным. Очевидно, что для биортогональной системы

Обозначим дополнительные сигналы через и предположим, что энергия каждого сигнала равна

Из фиг. 4.40 ясно, что точка, соответствующая принятому сообщению, ближе к чем к тогда и только тогда, когда

Далее, ближе к чем к тогда и только тогда, когда

ближе к чем к тогда и только тогда, когда

Отсюда следует, что условная вероятность правильного приема для равновероятных сообщений при заданном передаваемом сигнале и при

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 4.40. Биортогональные сигналы. При передаче вектор ближе чем к тогда и только тогда, когда таковы, что пересекается одна из жирных пунктирных линий.

равна

где определяется равенством (4.96б). Умножая (4.1026) на и интегрируя по а от 0 до [учитывая соотношение (4.102а)], получаем

Снова ввиду симметрии и равенства априорных вероятностей выражение (4.103) оказывается одновременно формулой для вероятности правильного приема Замечая, что получаем

Когда велики, различие в помехоустойчивости для биортогональных и ортогональных сигналов пренебрежимо мало, но требуемое число измерений в случае биортогональных сигналов вдвое меньше.