ПРИЛОЖЕНИЕ 5Г. ОБЪЕМ N-МЕРНОЙ СФЕРЫ

Геометрическое место точек

удовлетворяющих неравенству

называется -мерной сферой радиуса . По определению объем -мерной сферы радиуса равен

Произведи замену переменных

получим

Остается определить объем сферы единичного радиуса Найдем его косвенно, рассмотрев совокупность статистически независимых гауссовских случайных величин каждая из которых имеет нулевое среднее и единичную дисперсию. Плотность распределения вероятностей вектора равна

Вычислим вероятность того, что попадет и область, заключенную между двумя концентрическими сферами с радиусами При малых величина очень близка к постоянной для всех лежащих в этой области. Искомая вероятность поэтому приблизительно равна произведению объема рассматриваемой области на значение функции которое она принимает при

Но

Поэтому

Кроме того, мы можем выразить через плотность распределения случайной величины

Подставив это соотношение в сократив обе части на и переходя к пределу при (при этом приближенное равенство становится точным), получим

Используя то обстоятельство, что площадь под любой кривой, являющейся графиком плотности распределения вероятностей, равна единице, можно вычислить постоянную

Рассмотрим дна случая. Когда нечетно, число четно. Тогда интеграл в правой части равенства представляет собой половину момента гауссовской случайной величины с единичной дисперсией. Согласно (5Г.10б) и (2.145),

Когда четно, число нечетно. Произведя замену переменной получим

Последовательно интегрируя по частям, получим

Подстановка дает

В частности,

Пользуясь приближением Стирлинга для факториала, можно проверить, что

Непосредственно из получаем

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)