Пусть 
вектор, образованный к статистически независимыми случайными величинами. Рассмотрим случайный вектор
получающийся, если исключить I-ю компоненту 
Плотность совместного распределения вероятностей 
задается тогда равенством
Отсюда следует, что компоненты вектора 
также статистически независимы. Легко получить отсюда, что из статистической независимости некоторого множества случайных величип следует независимость величин, входящих в любое подмножество этого множества.
Пусть заданы к событий 
причем каждое событие 
однозначно определяется соответствующей случайной величиной 
Тогда, если 
статистически независимы, то, используя равенство (2.90), получаем
Аналогично вероятность пересечения любого подмножества этих событий распадается на произведение вероятностей отдельных событий. Таким образом, из статистической независимости величин следует, что совокупность событий 
также статистически независима.
Интересный пример статистически независимых случайных величин возникает, когда каждая из к случайных величин является гауссовской
В этом случае
Если в выражении для плотности двумерного гауссовского распределения (2.58) положить 
то
Таким образом, из условия 
следует статистическая независимость. Обратно, если 
то плотность совместного распределения вероятностей не распадается на множители и, следовательно, величины и 
не являются независимыми.
Суммы независимых случайных величии. Плотность распределения вероятностей суммы двух статистически независимых случайных
величин имеет простое выражение. Было уже получено, что при 
Подставляя в это равенство рхру вместо 
получаем
Равенство (2,94) называется сверткой 
Обозначая символом операцию свертки, можно записать, что для статистически независимых случайных величин
По индукции
Так же как в хорошо известном случае анализа сигналов, 
-кратную свертку часто легче вычислить посредством преобразования Фурье. Назовем характеристической функцией 
случайной величины 
преобразование Фурье плотности распределения вероятностей этой величины:
Так как
то 
и характеристическая функция всегда существует. Плотность распределения вероятностей может быть получена в результате обратного преобразования Фурье:
Хорошо известно, что преобразование Фурье свертки двух функций равно произведению преобразований Фурье этих функций. Это можно доказать, вычисляя 
с учетом равенства (2.94):
Применяя метод индукции, отсюда получаем, что для к статистически независимых случайных величин
так что плотность 
может быть вычислена с помощью обратного преобразования Фурье (2.97).
статистически независимы, если и только если плотность совместного распределения вероятностей этих величин 
равна произведению 
т. е. если и только если для всех а:
