3.4. ГАУССОВСКИЙ ПРОЦЕСС

Рассмотрим случайный процесс Пусть через обозначена совокупность случайных величин, являющаяся выборкой из значений процесса для совокупности к моментов времени Если величины являются совместно гауссовскими для любого конечного набора моментов наблюдения то процесс называется гауссовским процессом.

Условия, которым должен удовлетворять гауссовский процесс, являются, таким образом, очень жесткими. Однако с помощью одномерной центральной предельной теоремы, рассмотренной в гл. 2, было обосновано утверждение о том, что адекватной математической моделью для выхода источника профильтрованного импульсного шума, наблюдаемого в некоторый фиксированный моментвремени является гауссовская случайная величина. Аналогично с помощью многомерной центральной предельной теоремы обосновывается адекватность представления выборки из к наблюдений на выходе источника в некоторые моменты наблюдения при помощи к совместно гауссовских случайных величин. Для того чтобы такая математическая модель была адекватной, существенно, чтобы наблюдаемые выборочные значения определялись суммой большого числа относительно независимых возмущений. Поскольку существует много примеров, где это условие выполняется (тепловой шум в сопротивлении, диффузионный шум в транзисторе, спонтанный эмиссионный шум в мазерах, галактический шум в радиоастрономии), то гауссонекие процессы чрезвычайно важны с практической (а также и с математической) точки зрения.

ЗАДАНИЕ ГАУССОВСКОГО ПРОЦЕССА

Мы уже видели, что произвольный случайный процесс считается заданным, если и только если указано правило для определения плотности совместного распределения вероятностей выборки для любой конечной совокупности моментов наблюдения Одним из важнейших свойств совокупности совместно гауссовских величин является то, что плотность их совместного распределения зависит только от средних значений

и совокупности ковариаций

Поскольку через обозначена случайная величина то мы ириходим к выводу, что гауссовский процесс полностью задан, если известно, каким образом средние значения и ковариации зависят от выборочных моментов наблюдения

Фиг. 3.18. (см. скан) Интерпретация конариационной функции. В этом частном случае выбраны так, что Пусть случайная величина определяется равенством . Тогда

Функция средних. Чтобы задать для любого набора моментов наблюдения необходимо достаточно знать функцию называемую функцией средних процесса такую, что

Например, так как через обозначены случайные величины, получающиеся в результате наблюдения процесса и моменты и соответственно, то

Ковариационная функции. Аналогично для того чтобы задать совокупность копарнаций для любой совокупности моментов времени необходимо и достаточно знать функцию называемую

ковариационной функцией процесса . Эта функция такова, что

Тогда для элементов выборки соответствующих моментам наблюдения

Возможна следующая интерпретация функции Рассмотрим некоторую выборочную функцию случайного процесса сначала в некоторый фиксированный момент времени а затем в некоторый момент (фиг. 3.18). Произведение этих двух выборочных значений, если вычесть из них их средние, равно Ковариационная функция есть математическое ожидание этого произведения по ансамблю точек рассматриваемое как функция от выборочных моментов наблюдения

Предположим, что известно, что случайный процесс является гауссовским и что

Ковариации двух выборочных значений взятых в моменты времени равны

Вектор средних значений

Тогда в соответствии с равенством [или ] плотность совместного распределения вероятностей