5.3. ПРОМЕЖУТОК ВРЕМЕНИ, ШИРИНА ПОЛОСЫ ЧАСТОТ И ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ

Может показаться, что схема передачи блоков ортогональными ВИМ-сигналами дает решение общей проблемы точной и эффективной связи по гауссовскому каналу. К сожалению, это не так: при Я, близких к для получения больших по абсолютной величине отрицательных значений показателя экспоненты в правой части неравенства (5.14а) требуется очень большая величина ; в свою очередь при больших число ортогональных сигналов требуемое для передачи, становится огромным. Как мы увидим, канал с заданной конечной шириной полосы частот не может быть приспособлен для передачи ортогональных сигналов, если возрастающая, фиксированная величины. Все реальные каналы имеют ограниченную ширину полосы частот; следовательно, не существует схемы передачи блоков ортогональными сигналами, которая работала бы при фиксированной скорости и произвольно больших

ЧИСЛО ИЗМЕРЕНИЙ ПРОСТРАНСТВА СИГНАЛОВ КАК ФУНКЦИЯ Т

Характер ограничений на число измерений совокупности сигналов, вытекающих из конечности ширины полосы частот, можно понять из теоремы, полученной Шенноном, а также Ландау и Поллаком Мы приведем ее без доказательства.

Теорема о числе измерений. Пусть некоторая совокупность ортогональных сигналов длительности и «ширины полосы» Точнее говоря, потребуем, чтобы каждый сигнал

1) тождественно равнялся нулю вне некоторого интервала времени длительности

(кликните для просмотра скана)

2) вне интервала частот имел не более 1/12 своей энергии.

Тогда число различных сигналов в совокупности при больших не превышает

Определение ширины полосы частот в этой теореме может показаться несколько искусственным. Однако любая имеющая смысл оценка ширины полосы частот, занимаемой низкочастотным сигналом конечной длительности, будет отличаться от ширины полосы частот, в которой сосредоточено не менее энергии сигнала, постоянным множителем Поэтому в действительности теорема имеет неограниченную приложимость. Самое важное — это то, что число ортогональных сигналов (число измерений) для «ограниченного по полосе» канала не может расти быстрее, чем линейно с ростом промежутка времени независимо от того, как определяется «ширина полосы».

Легко доказать обратпое утверждение, состоящее в том, что число измерений (обозначим его через которым мы располагаем в канале с ограниченной полосой частот, может расти линейно с ростом Иначе говоря, мы хотим показать, что

где число измерений в секунду — с увеличением растет линейно, а от зависит слабо. В качестве первого примера рассмотрим импульс тождественно равный нулю вне интервала длительности и занимающий некоторую (соответствующим образом определенную) полосу частот ширины Тогда за время можно передать таких импульсов так, чтобы они не перекрывались. Так как неперекрывающиеся импульсы ортогональны, эта схема позволяет получить измерений в секунду.

Можпо лучше понять взаимосвязь между если убедиться, что длительность импульса обратно пропорциональна ширине полосы, которую он занимает. Если преобразование Фурье функции то преобразование Фурье функции имеет вид

Поэтому, если импульс длительности занимает полосу частот то импульс имеет длительность и занимает полосу частот Отсюда следует, что за 1 сек можно передать неперекрывающихся импульсов это и означает, что пропорционально ширине полосы частот.

В качество второго примера, подтверждающего обратное утверждение, рассмотрим следующие синусоидальные и косинусоидальные сигналы длительности разнесенные по частоте на гц,

Каждый сигнал равен нулю при Ясно, что все эти сигналы взаимно ортогональны. Соответствующие спектры сигналов, выраженные через

Фиг. 5.5. Спектр косинусоидального сигнала длительности и частоты При спектр сигнала равен .

спектр сигнала приведены на фиг. 5.5. Интегрируя по частям и используя таблицы интегрального синуса [46], можно показать, что

При целых значениях как следует из неравенства и фиг. 5.5, в двустороннем интервале частот ширины можно так разместить рассматриваемых сигпалов, чтобы по меньшей мере 90% энергии каждого из сигналов принадлежало этому интервалу.

Трудности при передаче последовательностей ортогональных импульсов обусловлены тем, что большинство реальных каналов вносит искажения; как показано на фиг. 5.6, импульсы, которые при передаче не перекрывались, при приеме сливаются. Это явление, называемое межеимволъной интерференцией, исключает строгую ортогональность, и в результате практически достижимое значение величины уменьшается. Относительно грубый метод борьбы с интерференцией заключается в ведении достаточно больших пауз между импульсами. Это делает интерференцию пренебрежимо малой. Более тонкие методы требуют тщательного выбора формы передаваемых импульсов и (или) хорошо разработанных фильтров. На практике максимальное число

Фиг. 5.6. Межсимвольная интерференция. Сплошной линией на рисунке изображен результирующий принятый сигнал, складывающийся из откликов (пунктирные кривые) на каждый из трех переданных импульсов, изображенных на рисунке а.

ортогональных в основном сигналов, которое можно передать за время по каналу с номинальной шириной полосы частот лежит между и определяющими факторами являются здесь выбор определения для и стоимость реализации.

НЕОБХОДИМАЯ ШИРИНА ПОЛОСЫ ЧАСТОТ ПРИ ПЕРЕДАЧЕ БЛОКОВ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СИГНАЛАМИ

Теперь легко показать, что в каналах с ограниченной полосой частот не всегда можно использовать метод передачи блоков ортогональными сигналами. Как мы знаем, если источник, с которым связан передатчик, каждую секунду генерирует двоичных символов, то необходимое для передачи за время число двоичных символов равно а число различных сигналов Если потребовать ортогональности этих сигналов, то, согласно теореме о числе измерений, число ортогональных сигналов и ширина полосы частот будут связаны соотношением

или

Величина при больших зависит от почти экспоненциально и поэтому превышает ширину полосы частот любого реального канала.

Значение экспоненциального роста ширины полосы становится наглядным из следующего примера. Рассмотрим систему, передающую информацию с умеренной скоростью 100 бит/сек, и предположим, что в соотношении (5.14а) таковы, что для достижения желаемой вероятности ошибки необходимо время сек. Тогда

что, естественно, нереально. Если применить временной подход, то, согласно (5.19а), при использовании схемы передачи блоков ВИМ ортогональными сигналами число неперекрывающихся символов в 1 сек должно быть равно 2100, т. е. каждый импульс должен иметь длительность