МОМЕНТЫ

Для дальнейшего особенно важны математические ожидания степеней случайных величин. Назовем

моментом величины и

ее центральным моментом, если значения этих интегралов конечны. В тривиальном случае

Второй центральный момент величины называется дисперсией и обозначается через . В соответствии со свойством (2.127)

Квадратный корень из дисперсии называется стандартным отклонением случайной величины

Если при рассмотрении плотности одномерного распределения вероятностей использовать аналогию с массой, распределенной вдоль стержня, то моменты также будут иметь прямые физические аналоги. Среднее значение соответствует центру тяжести; второй момент моменту инерции относительно начала координат, а дисперсия — центральному моменту инерции.

Фиг. 2.38. Плотность равномерно распределенной случайной величины.

В качестве примера рассмотрим моменты случайной величины заданной плотностью равномерного распределения, изображенной на фиг. 2.38. Получаем

В качестве второго примера рассмотрим случайную величину с плотностью распределения Коши, изображенной на фиг. 2.21. Поскольку под

Знаком интеграла стоит нечетная функция, то

где по определению (главное значение в смысле Коти)

Однако второй момент не существует, поскольку интеграл

не конечен.

Было доказано [см. (2.127)], что среднее значение суммы случайных величин равно сумме их средних значений независимо от того, являются ли эти величины статистически независимыми или нет. При условии, что величины попарно статистически независимы, это утверждение верно также и для дисперсии суммы (но, вообще говоря, не верно без этого условия); свойство попарной статистической независимости означает, что

Докажем Это утверждение в общем виде. Положим

где постоянные величины. Тогда

Но из соотношения (2.132) следует, что каждое слагаемое, стоящее под знаком двойной суммы, включает две статистически независимые случайные величины, так что среднее значение произведения этих величин равно произведению их средних значений равенство (2.128)]. Таким образом, математическое ожидание двойной суммы равно нулю и

В частности,

Характеристические функции. Характеристическая функция случайной величины была определена равенством (2.96) как преобразование Фурье от плотности распределения вероятностей величины

С другой стороны, учитывая свойство (2.126), можно рассматривать как математическое ожидание случайной величины Итак,

Такая интерпретация требует расширеиия понятия «случайная величина», ибо теперь это понятие должно включать в себя отображения из пространства на комплексную плоскость, тогда как до сих пор рассматривались только отображения на вещественную прямую. Комплексная случайная величина определяется как пара отображений так что

Аналогично математическое ожидание величины определяется через математические ожидания вещественных случайных величин х и у:

Зная плотность совместного распределения вероятностей величин х и у, можно вычислить вероятность любого события, определяемого случайной величиной

Характеристические функции в теории вероятностей играют такую же роль, как преобразования Фурье при анализе сигналов. В частности, с помощью подобных преобразований доказываются многие теоремы. Например, рассмотрим снова задачу отыскания плотности распределения вероятностей суммы двух статистически независимых случайных величин Непосредственно из равенств (2.136) и (2.128) находим, что

Следовательно,

что соответствует соотношениям (2.95) и (2.98).

Важным свойством характеристических функций является их связь с моментами. Вычислим производную по от обеих частей равенства (2.135). В результате получим

Подставляя и обозначая производную ипдексом сверху, запишем

Следовательно,

Характеристические функции гауссовских случайных величин, Используя характеристическую функцию, легко вычислить моменты гауссовской случайной величины Итак, пусть

Фиг. 2.39. Контур интегрирования при вычислении характеристической функции.

Тогда

Производя замену переменных и интегрируя в комплексной плоскости, получаем

где интегрирование проводится вдоль прямой, параллельной вещественной оси. Рассмотрим прямоугольный контур, изображенный на фиг. 2.39. Интеграл по всему этому контуру равен нулю, поскольку функция имеет полюсоп. Далее, если I стремится к бесконечности, то подынтегральная функция на прямых стремится к нулю экспоненциально как Отсюда следует, что вклад в интеграл по всему контуру от интегралов по вертикальным сторонам прямоугольника равен нулю. Таким образом,

и

Рассмотрим далее случайную величину у, получаемую из гауссовской случайной величины преобразованием . В соответствии с равенством (2.77)

Используя результат (2.1406), можно найти характеристическую функцию величины у:

Моменты величины у определяются теперь соотношениями (2.139). В частности, найдем среднее и дисперсию величины у:

Для того чтобы подчеркнуть эти результаты, плотность распределения величины у часто записывают в виде

Эта функция называется общей одномерной гауссовской плотностью. Рассмотрим теперь сумму

где — статистически независимые гауссовские случайные величины, причем

откуда

Согласно свойству (2.98),

где

Замечая, что -характеристическая функция гауссовской случайной величины со средним и дисперсией мы приходим к выводу, что сумма статистически независимых гауссовских случайных величин является также величиной гауссовской.

Моменты высших порядков гауссовской случайной величины можно, определить, разлагая ее характеристическую функцию в степенной ряд. Рассмотрим случайную величину у с характеристической функцией

Используя разложение

можно записать

С другой стороны,

так что если все моменты величины у конечны, то

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях в равенствах (2.144а) и (2.1446), получаем (для гауссовской случайной величины с нулевым средним)

или, проще,

Б частности,