ПРЯМОУГОЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ СИГНАЛОВ

В тех случаях, когда геометрическая конфигурация М равновероятных векторов сигналов является прямоугольной, вероятность ошибки вычисляется наиболее просто. Самой простой является ситуация, когда имеется только два сигнала.

Двоичиые сигналы. Общий случай двух векторов сигналов, каждый из которых имеет вероятность показан на фиг. 4.29, а. Эквивалентная с точки зрения вероятности ошибки совокупность сигналов представлена на фиг. 4.29, б, где первоначальная конфигурация сигналов повернута и сдвинута таким образом, чтобы положение центра тяжести совпало с началом координат, а вектор лежал вдоль оси

Области оптимального решения для фиг. 4.29, б определяются выражением

При равных априорных вероятностях это правило решения есть просто

Из фиг. 4.29, б ясно, что геометрическим местом точек равноудаленных от является ось Таким образом, ошибки при передаче возникают тогда и только тогда, когда составляющая шума превышает , где

расстояние между двумя сигналами:

Но является гауссовской случайной величиной с нулевым средним и дисперсией так что

Положив , получим

Поскольку благодаря симметрии условная вероятность ошибки одинакова для каждого из двух сигналов, то

Функция определена соотношением (2.50); ее график приведен на фиг. 2.36.

Выражение (4.766) есть минимальная вероятность ошибки для любой пары равновероятных векторов сигналов, удаленных друг от друга на расстояние независимо от их действительного положения в пространстве сигналов. Если сигналы имеют мипимальнуго энергию и, следовательно, являются противоположными, то, как показано на фиг. 4,29, б, длина каждого вектора равна так что и

С другой стороны, если сигналы ортогональны, как на фиг. 4.30, то и

В инженерной практике принято выражать отношение энергий в децибелах (дб):

Например,

(кликните для просмотра скана)

Графики вероятностей ошибки для противоположных и ортогональных сигналов приведены на фиг. 4.31. Значения здесь даны в децибелах. Эти графики показывают, что противоположные сигналы на 3 дб более эффективны, чем ортогональные при передаче одного из двух равновероятных сообщений.

Для двоичных сигналов легко вычислить и тогда, когда априорные вероятности сообщений не равны. Как показано на фиг. 4.32, граница областей решения в этом случае сдвигается от на величину

Равенство (4.79а) выводится из условия путем решения уравнения

для При любом значении тогда имеем

Так как есть величина удовлетворяющая этому уравнению, то

Результирующая вероятность ошибки

Прямоугольные области решения. Простота вычисления вероятности ошибки для двоичных сигналов объясняется тем, что ошибка возникает тогда и только тогда, когда одна случайная величина превышает заданное значение. Не намного более сложны случаи, когда границы областей решений являются прямоугольными. Рассмотрим, например, сигнал и область решения показанные на фиг. 4.33, а. После сдвига в начало координат и поворота всей конфигурации, как показано на фиг. 4.33, б, становится очевидным, что попадает в всегда, когда одновременно

Но статистически независимы и имеют одну и ту же плотность распределения вероятностей

Таким образом,

Оптимальные границы областей решения всегда прямоугольны, если прямоугольна конфигурация векторов сигналов и все сигналы равновероятны. Простым примером является прямоугольная конфигурация из шести равновероятных сигналов, показанная на фиг. 4,34. В этом случае

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 4.35. Сигналы в вершинах двумерного и трехмерного кубов, Области решения заштрихованы.

где вероятность ошибки для двух сигналов, удаленных друг от друга на расстояние Благодаря симметрии

Аналогично

Таким образом,

Вершины гиперкуба. Частным случаем прямоугольных областей решения является конфигурация, в которой равновероятных сообщений располагаются в вершинах Лмерного гиперкуба с центром в начале координат. Эта конфигурация геометрически представлена для случаев на фиг. 4.35. В аналитической форме имеем

где

Чтобы найти вероятность ошибки, предположим, что передается сигнал

Прежде всего можно утверждать, что ошибка при приеме не возникнет, если

Доказательство этого вытекает непосредственно из следующего рассуждения. Если принимается вектор то компонента разности равна

Так как из неравенства (4.84а) вытекает неравенство

то

для всех всегда, когда удовлетворяется неравенство (4.84а).

Следующее утверждение состоит в том, что если по крайней мере для одного

то принимается ошибочное решение. Действительно, если удовлетворяется неравенство оказывается ближе к чем к где обозначает сигнал с компонентами направлении и во всех остальных. (Конечно, может быть еще ближе к некоторому сигналу, отличному от но не может быть, чтобы было ближайшим к

Из соотношений и следует, что правильное решение принимается тогда и только тогда, когда удовлетворяется неравенство (4.84а). Следовательно, вероятность этого события при условии, что

где

— снова вероятность ошибки для двух равновероятных сигналов, удаленных друг от друга на расстояние Наконец, благодаря симметрии

и, следовательно,

Чтобы выразить этот результат через энергию сигналов, опять воспользуемся тем, что величина квадрата расстояния от начала координат до конца каждого вектора одипакова для всех сигналов. Следовательно, передаваемая энергия не зависит от и потому может быть обозначена через

Из соотношений (4.586) и (4.826) получаем

и

Простой вид результата позволяет предположить, что его можно получить более простым способом. Действительно, такой способ существует. Заметим, что и координата случайного сигнала с равной априорной вероятностью принимает значения независимо от других координат. Кроме того, шум действующий на координату, не зависит от шума, действующего на все другие координаты. Следовательно, по теореме о несущественных данных решение о координате может быть принято независимо от решений о других координатах. Такое однокоординатное решение соответствует задаче приема двоичных сигналов, удаленных друг от друга на расстояние для которых вероятность правильного приема равна Так как в исходной задаче о гиперкубе правильное решение будет принято тогда и только тогда, когда безошибочно принята каждая координата, и поскольку результаты решения по каждой координате независимы, то сразу получим