5.2. ПЕРЕДАЧА ОТДЕЛЬНЫХ СИМВОЛОВ И ПЕРЕДАЧА БЛОКОВ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СИГНАЛАМИ

Чтобы увидеть, что различные системы связи, характеризуемые одной и той же величиной могут вести себя весьма по-разному, сравним результаты передачи последовательности

равновероятных двоичных символов двумя конкретными способами. В первой (очень естественной) схеме передачи передаваемый сигнал состоит из

Фиг. 5.1. Передаваемый сигнал при передаче отдельными символами информационной последовательности 11010.

последовательности К неперекрывающихся импульсов, каждый из которых имеет одну и ту же форму, как показано на фиг. 5.1; импульс положителен, если соответствующий двоичный символ рапен 1, и отрицателен, если символ равен 0. Энергия каждого элементарного импульса равна а общая расходуемая энергия равпа Во второй схеме передачи в качестве совокупности сигналов используется совокупность ортогональных импульсов, энергия каждого из которых равна Выбор передаваемого сигнала производится путем рассмотрения всей входной последовательности в целом; если двоичное число, определяемое данным сообщением, равно передается импульс.

Во многих приложениях требуется, чтобы вся последовательность К двоичных символов была передана правильно. Примером может служить военно-морская система корректирования огня, где символ, равный 1, означает, например, что цель выше поверхности, а символ, равный 0, показывает, что цель ниже. В таких случаях последовательность считается переданной правильно, если и только если каждый из К двоичных символов безошибочно воспроизведен на выходе приемника. Поэтому будем сравнивать две наши системы передачи, вычисляя вероятность того, что при передаче на фоне аддитивных белых гауссовских шумов один или более символов будут приняты неправильно. Эту вероятность мы снопа обозначим через

ПЕРЕДАЧА ОТДЕЛЬНЫХ СИМВОЛОВ

Для первой из рассматриваемых систем передачи передаваемый сигнал имеет вид

где

длительности . Положив

мы поставим в соответствие совокупности возможных сигналов 2 верший -мерного гиперкуба. Для рассматриваемой совокупности сигналов вероятность по крайней мере одной ошибки, как показано в гл. 4 [см. ], равна

где

представляет собой вероятность ошибки в задаче о различении двух противоположных сигналов энергии на фоне аддитивных белых гауссовских шумов со спектральной плотностью мощности Так как оптимальный приемник в этом случае, как было отмечено в гл. 4, может принимать решение о каждом символе независимо от всех остальных символов, назовем эту схему передачи схемой передачи отдельных символов.

Согласно соотношению при любых фиксированных вероятность ошибки стремится к 1 при возрастании а следовательно, и К. При фиксированных вероятность ошибки может быть уменьшена только путем увеличения энергии, затрачиваемой на бит, что в свою очередь достигается либо увеличением средней энергии либо уменьшением скорости Интуитивно этот результат не вызывает возражений: в самом деле, длительное время связисты предполагали, что вероятность ошибки можно уменьшить, только увеличив мощность, либо понизив скорость передачи.

ПЕРЕДАЧА БЛОКОВ ОРТОГОНАЛЬНЫМИ СИГНАЛАМИ

Чтобы увидеть, что это предположение неправильно, нужно только рассмотреть второй пример, где каждые сек передается один из ортогональных импульсов. В частном случае совокупности ортогональных время-импульсно-модулированных (сокращенно ВИМ) сигналов, изображенных на фиг. 5.2, передаваемый сигнал можно записать в виде

где двоичное число, соотвегствующзз входной последовательности К двоичных символов, а импульс единичной энергии и длительности

В гл. 4 мы видели [формула (4.111)], что для любой совокупности равновероятных ортогональных сигналов одинаковой энергии вероятность ошибки ограничена неравенством

Фиг. 5.2. Передаваемый сигнал, соответствующий информационной последовательности 11010, при передаче блоков ортогональными сигналами.

где второе неравенство следует из (2.122). Оценка для некоторых случаев более точная, чем эта, получена в разд. 5.6, однако достаточное представление о поведении можно получить уже из .

Подставляя

и

в , перепишем это неравенство в виде

Таким образом, оказывается, что вероятность ошибки стремится к нулю экспоненциально с ростом пока скорость удовлетворяет неравенству

Соотношениям эквивалентны следующие выражения:

и

Разница между результатами, относящимися к передаче отдельных символов [см. (5.10)], и результатами, относящимися к передаче ортогональными сигналами целых блоков из К двоичных символов (передача блоков ортогональными сигналами), значительна. В первом случае вероятность ошибки стремится к единице с возрастанием как бы ни было велико отношение сигнал/шум на бит информации Во втором случае мы можем, увеличивая К, сделать вероятность ошибки сколь угодно близкой к нулю, если только больше, чем 1,39. Иными словами, отношение сигнал/шум устанавливает пекоторую границу для максимальпой скорости передачи; для скоростей, меньших этого максимума, вероятность может быть сделана сколь угодно малой путем выбора достаточно больших

ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ

Геометрическое рассмотрение расположения векторов сигналов для двух рассмотренных выше схем передачи позволяет лучше понять причины фундаментального различия их возможностей. Как показано на фиг. 5.3, расстояние между ближайшими соседними векторами при передаче отдельных символов остается постоянным, а число ближайших соседних векторов и размерность пространства сигналов возрастают линейно с увеличением К. Вероятность того, что принимаемый вектор сигнала в результате воздействия хотя бы одной из К существенных компонент шума станет ближе всего не к переданному, а к соседнему с ним вектору, увеличивается с ростом К, так как шансы на то, что это случится, возрастают в К раз.

С другой стороны, как показано на фиг. 5.4, в случае передачи блоков ортогональными сигналами расстояние мелду ближайшими соседними векторами растет пропорционально При увеличении до этот прирост расстояния достигается введением новых измерений для каждого из 1 дополнительных сигналов и перенормировкой амплитуды. Хотя даже число ближайших соседних векторов растет как (здесь все сигналы — ближайшие соседи), при больших значениях увеличение расстояния между сигналами будет определять поведение вероятности ошибки. И наоборот, как мы увидим, при малых значениях определяющим является рост числа соседей и при возрастании К.