АДДИТИВНЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ
Действительные границы областей решения в любом частном случае зависят в соответствии с соотношением от априорных вероятностей от сигналов и свойств канала, определяемых . В некоторых случаях вычисление этих границ может оказаться простым, но чаще всего оно чрезвычайно сложно. К счастью, многие практически важные случаи попадают в категорию простых.
Чтобы цроиллюстрировать относительно простую ситуацию, рассмотрим случай, когда вектор сигнала искажается в канале простым добавлением к нему случайного вектора шума (как показано на фиг. 4.4):
Тогда случайный вектор сигнала и принятый вектор связаны соотношением
Так как соотношение означает, что при тогда и только тогда, когда условные плотности распределения задаются как
Сделаем теперь часто являющееся приемлемым допущение о том, что статистически независимы [ср. (2.104)], т. е.
Отсюда следует, что
Решающая функция следовательно, равна
Чтобы упростить решающую функцию еще больше, необходимо задать плотность распределения шума Особенно прост и практически важен случай, когда компонент шума являются независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними и дисперсиями Тогда
Фиг. 4.4. -мерная векторная система связи.
из соотношения следует, что
Это выражение можно записать более компактно, если заметить, что квадрат длины вектора а является по определению скалярным произведением . В обычном случае или 3 имеем
где декартовы координаты а. Равенство (4.176) остается в силе и для больших Следовательно, равенство (4.17а) можно переписать в виде
Подставив (4.17в) в получим, что для такого распределения оптимальный приемник полагает в том случае, когда
максимально при [множитель не зависит от и поэтому не влияет на решение приемника]. Наконец, заметим, что максимизация выражения сводится к определению такой величины , которая минимизирует разность
Решающей функции легко дать геометрическое истолкование. В самом деле, член есть квадрат евклидова расстояния между точками и
В тех случаях, когда все имеют равные априорные вероятности, оптимальное правило решения состоит в том, чтобы отнести принятую точку тогда и только тогда, когда ближе к чем к любому другому из возможных сигналов. Например, рассмотрим множество двумерных сигналов Если все три сообщения равновероятны, области решения будут такими, как показано на фиг. 4.5, а; если же априорные вероятности сообщений не равны, области решения модифицируются в соответствии с (фиг. 4.5, б).
После того как области решения определены, можно сразу написать выражение для условной вероятности правильного приема
Для аддитивного гауссовского шума с компонентам имеющими одинаковую дисперсию это выражение переходит в
Полная вероятность ошибки
(кликните для просмотра скана)
В разд. 4.4 даны оценки этих выражений для некоторых (важных) случаев, когда области решений таковы, что соответствующие интегралы легко вычисляются или аппроксимируются.