АДДИТИВНЫЙ ГАУССОВСКИЙ ШУМ
Действительные границы областей решения в любом частном случае зависят в соответствии с соотношением 
от априорных вероятностей 
от сигналов 
и свойств канала, определяемых 
. В некоторых случаях вычисление этих границ может оказаться простым, но чаще всего оно чрезвычайно сложно. К счастью, многие практически важные случаи попадают в категорию простых.
Чтобы цроиллюстрировать относительно простую ситуацию, рассмотрим случай, когда вектор сигнала искажается в канале простым добавлением к нему случайного вектора шума 
(как показано на фиг. 4.4):
Тогда случайный вектор сигнала 
и принятый вектор 
связаны соотношением
Так как соотношение 
означает, что 
при 
тогда и только тогда, когда 
условные плотности распределения 
задаются как
Сделаем теперь часто являющееся приемлемым допущение о том, что 
статистически независимы [ср. (2.104)], т. е.
Отсюда следует, что
Решающая функция 
следовательно, равна
Чтобы упростить решающую функцию еще больше, необходимо задать плотность распределения шума 
Особенно прост и практически важен случай, когда 
компонент шума 
являются независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними и дисперсиями 
Тогда
Фиг. 4.4. 
-мерная векторная система связи.
из соотношения 
следует, что
Это выражение можно записать более компактно, если заметить, что квадрат длины вектора а является по определению скалярным произведением 
. В обычном случае 
или 3 имеем
где 
декартовы координаты а. Равенство (4.176) остается в силе и для больших 
Следовательно, равенство (4.17а) можно переписать в виде
Подставив (4.17в) в 
получим, что для такого распределения 
оптимальный приемник полагает 
в том случае, когда
максимально при 
[множитель 
не зависит от 
и поэтому не влияет на решение приемника]. Наконец, заметим, что максимизация выражения 
сводится к определению такой величины 
, которая минимизирует разность
Решающей функции 
легко дать геометрическое истолкование. В самом деле, член 
есть квадрат евклидова расстояния между точками 
и
В тех случаях, когда все 
имеют равные априорные вероятности, оптимальное правило решения состоит в том, чтобы отнести принятую точку 
тогда и только тогда, когда 
ближе к 
чем к любому другому из возможных сигналов. Например, рассмотрим множество двумерных сигналов 
Если все три сообщения равновероятны, области решения будут такими, как показано на фиг. 4.5, а; если же априорные вероятности сообщений не равны, области решения модифицируются в соответствии с 
(фиг. 4.5, б).
После того как области решения 
определены, можно сразу написать выражение для условной вероятности правильного приема
Для аддитивного гауссовского шума с компонентам имеющими одинаковую дисперсию это выражение переходит в
Полная вероятность ошибки
(кликните для просмотра скана)
В разд. 4.4 даны оценки этих выражений для некоторых (важных) случаев, когда области решений таковы, что соответствующие интегралы легко вычисляются или аппроксимируются.
