ПРИЛОЖЕНИЕ 7В. ЛЕММА
В этом приложении будет доказана следующая лемма:
Лемма. Если 
случайная величина со средним значением и дисперсией 
какая-либо комплексная постоянная, вещественная
часть которой меньше 
то
Доказательство, Согласно оцределению,
После выполнения операции возведения в квадрат в показателе экспоненты это равенство принимает вид
Вводя обозначение
будем иметь
где 
контур, который описывает комплексная переменная 
когда вещественная переменная а изменяется от 
до 
Лемма будет доказана, если 
что интеграл, стоящий в 
равен единице, когда 
Вначале следует определить 
Положим
и введем обозначение
Это значит, что 
задаются полярным преобразованием, показанным на фиг. 7В.1. Из 
и 
следует, что
Отсюда
Поэтому точки, составляющие 
образуют прямую линию с наклоном 
, которая изображена на фиг. 7В.2.
Так как функция 
не имеет конечных полюсов, то интеграл по замкнутому контуру, изображенному на фиг. 715.3, равен нулю, и
(кликните для просмотра скана)
Предположим, что А — конечная величина, а затем перейдем к пределу при 
. В силу того что
интеграл в 
также равен единице, когда
Рассмотрим теперь 
Для всех точек на этом отрезке контура 
Таким образом,
Беря абсолютную величину обеих частей равенства 
получаем
Эквивалентным условием для стремления к нулю интеграла будет неравенство
Из фиг. 7В.1 следует, что это условие удовлетворяется, когда 
или
Аналогичное рассуждение можно использовать, чтобы показать, что
также стремится к нулю при 
когда выполняется условие 
этим завершается доказательство леммы.
ЗАДАЧИ
(см. скан)
