8.3. ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

При ВИМ и ИЧМ выборка отсчетов модулирующего процесса производится через каждые сек и передатчик, и приемник должны рдбэтать синхронно во времени. В случае же ЧМ передаваемый сигнал непрерывно модулируется передаваемой функцией на входе и проблемы синхронизации не существует.

ЧМ-сигналы можно записать в виде

Здесь множитель выбран для того, чтобы, нормировав передаваемую мощность, сделать ее равной . В отличие от этого при ВИМ и ИЧМ передаваемые сигналы нормировались так, чтобы передаваемая энергия в расчете на один отсчет равнялась Если

то для модулирующего процесса с прямоугольной формой спектральной плотности и шириной полосы обе указанные нормировки совпадают.

Аргумент в любом сигнале, имеющем вид называется мгновенной фазой, а — мгновенной частотой и обозначается через При частотной модуляции эти названия принимаются потому, что линейно зависит от Из (8.123) имеем

Если нормировать так, чтобы

то

и — максимальная девиация мгновенной частоты.

Глубина модуляции ЧМ-сигнала определяется как отношение максимальной девиации мгновенной частоты и ширины полосы Глубина модуляции играет ту же самую роль в что и эффективная размерность в ВИМ и ИЧМ. Поэтому обозначим ее также через :

когда

ШИРИНА ПОЛОСЫ СИГНАЛА

Покажем теперь, что полуширина полосы, снова обозначаемая через которая требуется для того, чтобы пропустить наибольшую часть энергии ЧМ-сигнала, связана с знакомым уже приближенным равенством:

Поучительное, хотя и не вполне точное, подтверждение справедливости итого соотношения можно получить из квазистатистического обобщения рассуждений, с которым мы уже сталкивались при рассмотрении Скорость изменения в ЧМ-сигналах существенно зависит от ширины полосы на любом интервале, меньшем, чем мгновенная частота остается более или менее постоянной. Однако, как было отмечено при рассмотрении фиг. 8.43, спектр синусоидального импульса длины сек имеет вид с нулями, расположенными на расстоянии друг от друга. Если требования к спектру ЧМ можно выразить с помощью импульса, подобного который под влиянием движется квазистатически в полосе Допуская защитные полосы шириной гц с каждой стороны интервала приходим к справедливости равенства (8.127).

Точное выражение для спектра ЧМ-сигнала может быть получено в случае, когда являетсся синусоидой. Положив получаем

Но при любом целом

где функция Бесселя порядка первого рода [83]. Используя (8.129), имеем

Таким образом, разложение Фурье для имеет вид

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 8.4в. (см. скан) Относительные величины (спектральных компонент на частотах в зависимости от k для ЧМ с косинусоидальной модуляцией.

При косинусоидалыюй модуляции с частотой спектр содержит бесконечное число дискретных компонент с частотами

Бесселевы функции часто появляются в задачах математической физики, и они подробно табулированы Некоторые типичные примеры функций Босселя изображены на фиг. 8.45. С помощью разложения в ряд функции можно показать [56], что при к

Используя формулу Стирлинга для приближенного представления факториалов в (8.131а), заметим, в частности, что

и правая часть быстро стремится к нулю, когда к возрастает выше значении

Из (8.1316) видно, что существенный вклад в в действительности дает только конечное число слагаемых и что число таких слагаемых линейно возрастает вместе с Однако отсюда также следует, что первые боковые компоненты, соответствующие имеют значительную величину даже тогда, когда пренебрежение ими оаначало бы, что производится аппроксимация чистой синусоидой, лишенной какой-либо модуляции! Оба эти заключения следуют из (8.127) и далее подтверждаются фиг. 8.46.

где изображен спектр при косинусоидальной модуляции для различных значений глубины модуляции. Равенство (8.127) особенно точно, когда . При была бы достаточной полуширина

ПОДАВЛЕНИЕ СЛАБОГО ШУМА

Рассмотрим теперь вопрос о подавлении слабого шума с помощью частотной модуляции. Первая задача будет состоять в том, чтобы изучить среднеквадратическое значение шума на выходе идеализированного варианта обычного ЧМ-приемника. Затем будет проведено исследование ЧМ с предварительным подчеркиванием высоких частот, которая также называется фазовой модуляцией и показано, что в случае достаточно слабого шума обычные приемники работают так же, как приемники максимального правдоподобия. Наконец, в заключение будет проведено сравнение характеристик ЧМ и при слабом шуме с характеристиками ИЧМ и ВИМ. В следующих подразделах этого раздела изучается вероятность аномалии.

Обычные ЧМ-приемники. Идеализированный вариант обычного ЧМ-приемника изображен на фиг. 8.47. Вначале принимаемый сигнал пропускается через прямоугольный фильтр с единичным усилением, который настроен на частоту передаваемой несущей. Затем выход фильтра гетеродинируется и поступает на вход ПЧ-фильтра который также является прямоугольным с единичным усилением. Оба фильтра имеют полуширину полосы, равную так что можно считать, что в отсутствие шума вход ограничителя-дискриминатора будет с точностью до изменения масштаба по амплитуде и сдвига по частоте относительно малоискаженной копией передаваемого сигнала. Поэтому в отсутствие шума получаем

Частотная демодуляция выполняется ограничителем-дискриминатором, который представляет собой нелинейное устройство, реагирующее только

Фиг. 8.47. Идеализированный вариант обычного ЧМ-приемника.

Фиг. 8,48. Идеализированная функциональная схема о граничителя-дискриминатора.

на изменения мгновенной частоты [2, 71]. Математическая модель этого устройства описывается следующим образом: если на входе устройства

то на его выходе

Ранее, однако, было показано, что спектром производной сигнала, преобразование Фурье которого равно является Следовательно, для целей настоящего рассмотрения ограничитель-дискриминатор можно заменить на блок, который выделяет из и следующий за этим блоком «дифференцирующий фильтр» с передаточной функцией (фиг. 8.48)

Конечные каскады идеализированного варианта обычного ЧМ-прием-ника содержат идеальный фильтр с единичным усилением, который устраняет шум, лежащий вне полосы занимаемой и аттенюатор с коэффициентом ослабления случае отсутствия шума

так что принимается если положить

Работа обычных приемников в присутствии слабого шума. Проведем теперь квазистатическое исследование среднеквадратического значения шума на выходе на которое получается при использовании обычного ЧМ-приема в присутствии слабого аддитивного гауссовского шума. Вначале предположим, что модулирующий сигнал представляет собой некоторую постоянную

так что на выходе -фильтра на фиг. 8.47 будет

Здесь является полосовым гауссовским процессом со спектральной плотностью

Разложим теперь на две компоненты: одну в фазе и другую в квадратуре по отношению к где

Имеем

Фиг. 8.49. (см. скан) Спектральная плотность шума.

преобразование для подстановки в тригонометрическое тождество

В соответствии с являются стационарными низкочастотными гауссовскими процессами, спектральные плотности которых задаются четной частью функции Поэтому спектральные плотности могут быть представ так, как показано на фиг. 8.49. Отметим, что ограничение гарантирует, что равны для всех в пределах ограниченного интервала Подставляя (8.139) в (8.1366), получаем

Вводя в рассмотрение полярное преобразование, изображенное на фиг. 8.50, представим это равенство в виде

где

Отсюда следует, что входом ограничителя-дискриминатора на фиг. 8.47 является

Фиг. 8.51. Спектральная плотность шума на выходе ЧМ-приемника при слабом шуме и постоянной модуляции. Из соотношения (8.1356) следует, что

Введем далее предположение о том, что шум является слабым, т. е. что общая мощность шума на всей занимаемой сигналом полосе много меньше, чем мощность сигнала:

При этом условии приближенное равенство

справедливо везде, кроме некоторых маловероятных (и, следовательно, нечасто встречающихся) временных интервалов, на которых и (или) принимает значение, много большее обычного. Исключая из рассмотрения эти интервалы, получаем

В заключение этого рассмотрения вспомним, что выход ограничителя-дискриминатора можно отождествить с выходом дифференцирующего фильтра на вход которого поступает Так как выход приемника образуется из с помощью ослабления и низкочастотной фильтрации, то, не учитывая приближенности соотношения (8.144), получаем

где стационарный гауссовский шум, спектральная плотность которого

изображена на фиг. 8.51. Из соотношений (8.134) и (8.1356) находим

Как следует из (8.124), среднеквадратическое значение слабого белого шума на выходе обычного ЧМ-приемника, выраженное через энергию, передаваемую на один отсчет, имеет вид

Итак, до сих пор рассматривался случай, в котором было постоянным и который во многом подобен случаю ИЧМ. При условии, что

Фиг. 8.52. Аппроксимация импульсами.

Фиг. 8.53. Передатчик для ЧМ или ФМ с предварительным подчеркинапиом высоких частот.

это рассмотрение можно обобщить на случай, в котором не является постоянной. Как показано на фиг. 8.52, мы можем тогда аппроксимировать последовательностью прямоугольных импульсов длины А, где А может быть выбрано малым по сравнению с и большим по сравнению с Это значит, что аппроксимацию можно сделать достаточно точной и вместе с тем оставить по существу справедливым предыдущее (статическое) рассмотрение, проведенное для случая слабого шума. Следовательно, в рамках этой квазистатической аппроксимации при произвольном (ограниченном) и большом для шума на выходе справедливо равенство (8.44б). Экспериментально установлено, что (8.44б) остается приближенно верным даже для умеренных значений

Фазовая модуляция. До сих пор полное среднеквадратическое значение шума использовалось как единственный критерий качества системы передачи при отсутствии аномалий. Однако на практике может иметь значение также распределение мощности шума по частоте. Так, например, при использовании ЧМ возникает трудность, состоящая в том, что спектральная плотность шума на выходе приемника не является равномерной; как следует из фиг. изменяется как в полосе — Таким образом, в случае когда представляет собой звуковой сигнал, особенно важные для разборчивости высокочастотные компоненты принимаются с меньшей точностью, чем низкочастотные компоненты.

На практике эта трудность преодолевается путем пропускания через линейный фильтр, который предварительно до модуляции подчеркивает высокие частоты. Такой передатчик изображен на фиг. 8.53; в нем предварительное подчеркивание выполняется дифференцирующим фильтром . В этом случае передаваемый процесс имеет вид

В равенстве (8.147) мгновенная фаза сигнала линейно связана с вследствие чего такой сигнал называется фазо-модулированным (ФМ).

Фиг. 8.54. Приемник для ЧМ с предварительным подчеркиванием высоких частот.

ФМ-сигнал можно принять с помощью обычного ЧМ-приемника и корректирующего фильтра, как показано на фиг. 8.54. Рассмотрим ЧМ-прием-ник, изображенный на этой фигуре, и положим коэффициент ослабления аттенюатора

Если ширина и ПЧ-полос достаточно велика для того, чтобы пропустить без заметных искажений, то выход ЧМ-приемника при отсутствии аномалии равен где — гауссовский шумовой процесс, и [в соответствии с (8.145б)]

Поэтому выход корректирующего (или интегрирующего) фильтра на фиг. 8.54 равен

где

Отметим, что имеет равномерную спектральную плотность в полосе модулирующего сигнала, что и требовалось получить. Среднеквадратическое значение результирующего шума на выходе (при слабом шуме на входе) равно

Равенство (8.151а) можно выразить через передаваемую энергию на один отсчет в виде

Прием по методу максимума, правдоподобия. До сих пор рассматривались примеры обычных способов ЧМ-приема, но не ставился вопрос о том, существуют ли другие лучшие методы приема. Покажем теперь, что при слабых шумах приемник с предварительным подчеркиванием высоких частот, изображенный на фиг. 8.54, по своим характеристикам не уступает приемнику максимального правдоподобия. Вместе с тем из сказанного не

Фиг. 8.55. Геометрическая интерпретация равенства (8.153в).

следует, что обычные приемники являются также идеальными по отношению к возникновению аномалий. Действительно, в дальнейшем будет показано, что это не так. Если

то, как и ранее, при слабом шуме характеристики приемника максимального правдоподобия могут быть определены с помощью представления вектором

Для ограниченного по полосе интервалом имеем

где отсчетные функции, определенные равенством (8.43). [С самого начала здесь предполагается, что только отсчетов могут быть не равны нулю.] Теперь получаем

Поэтому

Так как являются ортогональными функциями, то, пренебрегая высокочастотным слагаемым, получаем

Равенству (8.153в) можно дать геометрическую интерпретацию (фиг. 8.55). В окрестности любого фиксированного вектора сигнала малые изменения и заставляют перемещаться в ортогональных направлениях, Но при достаточно слабом шуме только расположенная в непосредственной

близости от передаваемого сигнала область геометрического представления множества сигналов [в рассматриваемом случае это представление является поверхностью] входит в определение оценки выполненной приемником максимального правдоподобия. Более того, при белом гауссовском шуме существенна лишь проекция шума на поверхность геометрического представления сигналов и проекции шума на ортого-. нальные оси являются статистически независимыми гауссовскими величинами с нулевыми средними значениями и дисперсиями Таким образом, при слабом шуме геометрические соотношения локально эквивалентны соотношениям, которые имели место в задаче передачи последовательности параметров, рассмотренной в разд. 8.1; единственное отличие состоит в несовпадении множеств ортонормальных функций; это множество в рассматриваемом случае получается с помощью нормировки правой стороны равенства (8.153а), при которой энергия становится единичной. Точный вид этих ортонормальных функций зависит от но факт их ортогональности от не зависит.

Из фиг. 8.55 непосредственно следует, что при слабом шуме среднеквадратическая ошибка оценки максимального правдоподобия для каждого из равна значению деленному на квадрат коэффициента растяжения в направлении, задаваемом Но растяжение одинаково для всех так как из (8.153в) следует, что

Это значит, что приемник максимального правдоподобия в случае слабого шума дает

где гауссовские случайные величины со средними значениями, равными нулю, и дисперсиями

Устремляя к бесконечности и учитывая (8.50), получаем

и

Сравнение равенств (8.1566) и (8.151а) доказывает то, что при слабом шуме характеристики обычного ЧМ-приемника с предварительным подчеркиванием высоких частот совпадают с характеристиками, получаемыми при приеме по методу максимума правдоподобия.

Сравнение систем. Интересно сопоставить между собой характеристики обычной ИЧМ при слабом шуме, когда в результате нормировки все сигналы имеют одну и ту же энергию на отсчет и для передачи используется одпа и та же полоса. Для удобства ссылок приведем здесь все характеристики этих систем в случае слабого шума.

ИЧМ

ЧМ

ФМ

В каждой из систем передачи мощность сигнала берется равной так что энергия, передаваемая на один отсчет,

Остается нормировать ширину полосы частот. Для всех трех сигналов в качестве полуширины ВЧ-полосы можно взять максимальное значение девиации мгновенной частоты, сложенное с шириной защитной полосы гц,

Следующие соотношения справедливы для любого момента отсчета

ИЧМ

ЧМ

ФМ

Равенство (8.160а) следует из (8.49б). Желательно было бы нормировать параметры таким образом, чтобы максимальные значения девиации мгновенных частот были равны друг другу. Однако при этом возникает трудность, связанная с тем, что нет общего метода установления соотношения между .

Эту трудность можно отчасти обойти, если предположить, что является результатом прохождения белого гауссовского процесса со спектральной плотностью через идеальный фильтр (фиг. 8.56). При этом каждая из девиаций мгновенной частоты в равенствах (8.160) является гауссовской случайной величиной с нулевым средним значением и, конечно, не ограничена. Остающаяся трудность, вызванная предположением о том, что процесс является гауссовским, состоит в том, что теряется смысл нормировки максимального значения .

Фиг. 8.56. Сообщение, представляющее собой гауссовский процесс, идеально ограниченный по полосе.

Вместе с тем удобно (хотя это кажется менее удовлетворительным) нормировать таким образом, чтобы вероятность того, что превысит некоторое заданное значение была бы одной и той же для всех этих трех систем. При этом можно выбрать так, чтобы вероятность была достаточно мала (например, сравнима с вероятность аномалии), а полуширину полосы, используемой для передачи, можно взять равной

Преимущество предположения о том, что является гауссовским процессом, состоит в простоте приравнивания вероятностей Как следует из фиг. 8.56,

и

Поэтому, учитывая равенства (8.160), для дисперсий получаем

ИЧМ

ЧМ

ФМ

Ясно, что все три вероятности будут равны при любом если масштабы измерения параметров изменить так, чтобы

Если принять в качестве основного параметра, то из нормировки (8.164) следует, что среднеквадратические значения шума, представленные соотношениями (8.157), будут определяться следующими равенствами:

ИЧМ

ЧМ

ФМ

Отсюда видно, что и ЧМ имеют равные мощности шума на выходе, а обычная ИЧМ примерно на 6 дб хуже. Это отличие в характеристиках модуляций при слабом шуме является отражением того, что ЧМ и аналогичны схеме определяемой равенством (8.121), в котором модулирует как так и частоту. Если считать, что значение фазы известно и прием ведется по методу максимума правдоподобия, то как частотно-фазовая так и ИЧМ с противоположными сигналами приводят при слабом

шуме к среднеквадратической ошибке, равной по существу ошибке, которую дают ЧМ и Возможно, даже важнее то обстоятельство, что знание фазы позволяет использовать квадратурное уплотнение ИЧМ (или ВИМ) с противоположными сигналами. При нормировке ширины полосы значение которое получается при использовании этих методов в отсутствие аномалии! было бы на дб выше, чем значение, достигаемое при ЧМ и ФМ.

ВЕРОЯТНОСТЬ АНОМАЛИИ

Хотя среднеквадратическое значение шума, создаваемого обычными ЧМ-приемниками в отсутствие аномалии, эквивалентно среднеквадратиче-скому значению шума, производимого при ИЧМ с противоположными сигналами, эквивалентность не распространяется на вероятности аномалии. Покажем здесь, что обычные ЧМ-приемники дают величину которая существенно хуже.

Механизм, приводящий к аномалиям при использовании обычных ЧМ-приемников, вскрывается при рассмотрении фазы сигнала на входе ограничителя-дискриминатора. В отсутствие модуляции было использовано приближенное равенство [см. (8.143)]

Но приближение справедливо только на тех интервалах времени, на которых как так и малы по сравнению с А, и даже в случае слабого шума эти условия будут время от времени нарушаться. Например, так как случайно изменяются во времени, то существует определенная вероятность того, что конец вектора на фиг. 8.57, а будет двигаться вблизи начала координат, как показано на фиг. 8.57, б.

Тогда, когда результирующий вектор при своем движении не обходит вокруг начала координат, влияние такого движения на приемник не является особенно пагубным: например, если предполагается, что движется с равномерной скоростью по траектории, изображенной на фиг. 8.57, б, то на соответствующем графике имеет небольшое положительное значение в течение большей части времени движения и резкий отрицательный выброс в центре. Полное изменение равно нулю, откуда следует, что наибольшая часть энергии, содержащейся в приходится на высокие частоты, которые устраняются на выходе фильтра

С другой стороны, если конец вектора а обходит при своем движении вокруг начала координат, как показапо на фиг. 8.57, в, эффект получается весьма отличным. Выход ограничителя-дискриминатора имеет в этом случае резкий положительный выброс и полное изменение равняется а не нулю. Так как являются низкочастотными шумовыми процессами с шириной полосы то для узкополосного фильтра такой выбхюс, как правило, будет выглядеть как импульс величины Отсюда следует, что в этом случае в возмущении имеется значительная низкочастотная энергия, которая эффективно перекрывает любую существенную зависимость выхода приемника от передаваемого сигнала. Таким образом, процесс является «несвязанным» с и говорим, что возникла аномалия.

Следуя рассуждениям, приведенным Райсом [70], можно оценить вероятность (вновь обозначаемую через того, что имел место по крайней мере один обход вокруг начала координат на интервале Как показано на фиг. 8.57, в, необходимое условие для такого обхода начала координат состоит в том, что должно быть меньше, чем на некотором включенном подынтервале, на котором меняет свой знак. Поело такого пересечения отрицательной вещественной полуоси будет продолжать

Фиг. 8.57. (см. скан) Векторная интерпретация аномалий для обычных ЧМ-приемников:

обходить вокруг начала координат в течение интервала времени с вероятностью, большей, чем Отсюда следует, что можно оценить, разделив интервал на большое число малых интервалов длиной (как показано на фиг. 8.52) и подсчитав вероятность того, что а пересечет отрицательную вещественную полуось по крайней мере на одном из этих подынтервалов.

Обратим теперь внимание на фиксированный подынтервал и рассмотрим пару событий

Пересечение является событием, состоящим в том, что действительно пересекает отрицательную вещественную полуось на Далее, являются статистически независимыми, если модулирующий сигнал тождественно равен нулю. Поэтому в этом случае

В отсутствие модуляции как так и являются низкочастотными гауссовскими процессами с шириной полосы и спектральными плотностями Это означает, что

Если выбрать (это означает также, что то можно пренебречь небольшими изменениями на интервале Отсюда

сразу же следует, что

Определение является несколько более трудным. Очевидно, было бы неразумно пренебрегать изменениями во времени на когда изучается вопрос о том, будет ли изменяться от значения со знаком до значения со знаком (или наоборот) на этом интервале. Как показано в приложении В,

Таким образом, получаем

Так как ранее было выбрано оказывается, что поведение вектора на одном интервале статистически не зависит от его поведения на соседнем интервале. Но вероятность объединения ограничена суммой вероятностей составляющих это объединение событий независимо от того, являются ли эти события статистически независимыми. Так как стационарны, то каждое событие, входящее в объединение, имеет вероятность Пренебрегая вероятностью того, что можно пересечь ось, не окружая начала координат, оценим для случая отсутствия модуляции следующим образом:

Если неравная нулю постоянная, на проведенный выше анализ оказывают влияние два обстоятельства. Во-первых, более не являются статистически независимыми. Во-вторых, как следует из фиг. 8.49, ширина полосы увеличивается, что вызывает увеличение среднего числа пересечений нуля процессом в единицу времени. Таким образом, несколько увеличивается в присутствии модуляции. Соответствующее небольшое увеличение наблюдается экспериментально, но равенство (8.170) остается хорошей оценкой вероятности аномалии для обычных ЧМ-приемников при обычных условиях работы, когда

Сравнение с ИЧМ. Для того чтобы провести сравнение с удобно записать равенство (8.170) через энергию передаваемую в течение каждого интервала времени между отсчетами. Имеем

Как уже было показано [см. (8.165) и следствия этих равенств], ИЧМ с противоположными сигналами приводит к среднеквадратическому значению шума на выходе, по существу равному аналогичному значению для если обе модуляции используют одну и ту же энергию и равные по ширине ВЧ-полосы частот. Но из соотношений (8.122в) и (8.119) следует, что вероятность аномалии для ИЧМ с противоположными сигналами (или частотно-фазовой ИЧМ)

Из соотношений (8.171) и (8.172) можно заключить, что ИЧМ с противоположными сигналами имеет много меньшую вероятность аномалии по сравнению

Фиг. 8.58. ЧМ ОС-приемник.

с обычным ЧМ-приемом, если в отсутствие аномалии обе системы дают одно и то же среднеквадратическое значение шума на выходе.

ЧМ-приемники с обратной связью. Из проведенного анализа очевидно что основной причиной большой вероятности аномалии для обычных ЧМ-приемников является большая ширина полосы, требуемая на входе ограничителя-дискриминатора. Это требование может быть ослаблено, если использовать приемник с «обратной связью, сжатой по частоте» (ЧМОС) [26]. Блок-схема такого приемника изображена на фиг. 8,58.

Исследование среднеквадратического значения шума на выходе, производимого идеализированной ЧМОС в отсутствие аномалии, приведено в приложении . В частности, для случая достаточно слабого шума, такого, что показано, что

и при этом

Это значит, что при слабом шуме характеристики и обычной ЧМ [см. (8.146)] совпадают.

Тесная взаимосвязь между ЧМ и частотно-фазовой ИЧМ наталкивает на мысль, что вероятность аномалии (вместе со среднеквадратическимзначением шума на выходе в отсутствие аномалии) в случае использования приемника максимального правдоподобия для этих двух систем была бы одной и той же. Если эта гипотеза верна, то для нормированной по полосе частотно-фазовой ИЧМ (или ИЧМ с противоположными сигналами) из (8.172) будем иметь выражение

которое дает приближенную нижнюю границу для вероятности аномалии в ЧМОС-приемниках.