ВЕРОЯТНОСТНЫЕ СИСТЕМЫ

Пространство элементарных событий, совокупность событий и сопсставляемые им вероятности определяют вероятностную систему. Совокупность сопоставляемых событиям вероятностей должна быть полной в том смысле, что если событиям сопоставлены некоторые вероятности, то пересечению и [по правилу (2.9)] объединению также должны быть сопоставлены вероятности. Ниже рассмотрены два примера, иллюстрирующие способ задания вероятностей.

Конечное пространство элементарных, событии. Вероятностная система, в которой состоит только из конечного числа к точек, является наиболее простой. Наибольшее число различных событий, которые могут быть определены на таком пространстве элементарных событий, точно равно ибо каждая из к точек может либо входить, либо не входить в любое отдельное событие. Например, если состоит из трех точек

Фиг. 2.5. Событие в пространстве элементарных событий Событие А равно объединению заштрихованных интервалов.

то наиболее общая совокупность событий может быть определена с помощью двоичных последовательностей

символ в -значной последовательности полагаем равным 0 или 1 в зависимости от того, принадлежит или не принадлежит событию точка

Наиболее общее распределение вероятностей на возможных событиях можно получить, сопоставив каждой точке из неотрицательное число такое, что

Вероятность события А тогда полагается равной сумме чисел соответствующих тачкам, принадлежащим этому событию,

где I обозначает совокупность индексов, соответствующих элементарным событиям, входящим в А. Например, вероятность события определенного выше, Очевидно, что выбранные таким образом вероятности удовлетворяют свойствам I—III.

Пространство элементарных событий на вещественной прямой. Когда пространство элементарных событий содержит бесконечное число элементарных событий, мы более свободны в выборе событий и вероятностей, чем в случае конечного пространства элементарных событий. Рассмотрим, например, в качестве пространства элементарных событий отрезок вещественной прямой Одна из возможных вероятностных систем, с которой мы уже встречались, получается, если в качестве событий взять все интервалы этого отрезка прямой, а также объединения, пересечения и дополнения этих интервалов. Интервалы могут включать либо обе, либо одну, либо не включать ни одной из своих конечных точек. Один из возможных способов задания вероятностей состоит в том, что вероятность каждого события приравнивается сумме длин непересекающихся интервала, составляющих это событие. Например, если событие А, изображенное на фиг. 2.5, определяется как

где

то

Удобно описывать рассмотренную вероятностную систему выражением

где интегрирование проводится по интервалам, составляющим событие А, и

Для события А, определенного выше, и вероятностей, заданных соотношениями (2.12), величина определяется как суммарная длина заштрихованных интервалов на фиг. 2.5. Видно, что эта вероятностная система удовлетворяет свойствам I—III. Кроме того, также ясно, что в противоположность случаю конечного пространства элементарных событий совокупность вероятностей, задаваемая вероятностями, сопоставленными отдельным элементарным событиям, не будет наиболее общей. Вероятность, сопоставляемая любой точке соотношениями (2.12), равна нулю; очевидно, это не дает никаких сведений относительно вероятностей, сопоставляемых интервалам.

Чтобы выполнялись свойства I—III, вероятность, сопоставляемая интервалу, не должна быть произвольной функцией. Например, если вероятность интервала А выбрать равной квадрату его длины, то свойства I и II будут выполняться, если пространством элементарных исходов является интервал единичной длины, но свойство III выполняться не будет. Например, если , то должно было бы быть справедливо равенство

С другой стороны, однако, можно записать

Поскольку два события, стоящие в правой части этого равенства, являются непересекающимися, то в соответствии со свойством III

что противоречит равенству (2.13). Используя два различных метода вычисления, мы получаем два различных ответа для и, следовательно, предложенный выбор вероятностей является несостоятельным. При выборе совокупности вероятностей следует позаботиться о том, чтобы избежать возможных противоречий.

В общем случае распределение вероятностей на интервале задается равенством

где может быть любой интегрируемой неотрицательной функцией, такой, что

а — совокупность элементарных событий, входящих в А. Такой способ задания всегда корректен. Равенство (2.14а) аналогично сумме (2.11б) в случае конечного пространства элементарных событий. Примеры возможных функций приведены на фиг. 2.6.

Фиг. 2.6. Примеры функций задающих распределение вероятностей в случае вещественного пространства элементарных событий.