ПЛОТНОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Неудобств, связанных с использованием функции распределения, можно избежать, если ввести функцию, называемую плотностью распределения вероятностей, которая позволяет записывать вероятности в более привычной форме с помощью интегралов. Вероятность того, что некоторая случайная величина лежит в малом интервале задается соотношениями

Если мало, дифференцируема в точке то выражение, стоящее в скобках, можно заменить его приближенным значением

и

где обозначает производную

Теперь рассмотрим некоторую область I вещественной прямой: любая такая область может быть получена как объединение большого числа не имеющих общих точек интервалов длиной А, как показано на фиг. 2.18. Далее, вероятность объединения непересекающихся событий равна сумме вероятностей этих событий. Если всюду дифференцируема, то можно рассмотреть случай и тогда получается, что

Если производная существует, то она называется плотностью распределения вероятностей величины и обозначается символом Таким образом,

где

Чтобы вычислить вероятность некоторого события, следует проинтегрировать плотность распределения вероятностей по области, задающей это событие. В частности,

В том классе функций распределения вероятностей, который мы рассматриваем, непрерывная производная в точке может не существовать по одной из двух причин:

1. Точка для функции является точкой излома [т. е. это точка разрыва функции, задающей угол наклона касательной к ].

2. Точка является точкой разрыва функции т. е.

В первом случае возникает неопределенность, которую легко устранить, если всегда пыбирать в качестве правую произподную функции как в соотношении (2.38а).

Фиг. 2.18. Представление области I в виде объединения малых непересекающихся интервалов.

Во втором случае возникает более серьезная проблема, которая может быть решена путем расширения самого определения плотности распределения вероятностей. Рассмотрим функцию распределения имеющую единственный

Фиг. 2.19. Функция распределения вероятностей, не являющаяся непрерывной.

скачок высоты в точке (фиг. 2.19). Для любой области которая включает эту точку, суммарный вклад в вероятность всех малых подынтервалов кроме подынтервала равен

Если достаточно мало, то значение для интервала равно величине скачка, и

Записывая соотношение (2.41) сокращенно в виде равенства (2.39), мы приходим к необходимости ввести понятие «импульс Дирака». Единичный импульс можно наглядно представлять себе как предельное положение положительного импульса единичной площади, изображенного на фиг. 2.20, когда ширина импульса стремится к нулю. Единичный импульс в точке , обозначаемый через , определяется выражением

для любой функции непрерывной в точке а. Если а является одним из кондов интервала I и возможна неопределенность, то следует точно указать, принадлежит ли точка а интервалу Будем использовать звездочку для того, чтобы отметить, что а не принадлежит Тогда

Тривиальным приложением этих формул является равенство

(кликните для просмотра скана)

Итак, если ввести в определение слагаемое вида для каждой точки а, в которой функция имеет скачок, то вероятность того, что принадлежит снова можно записать кратко в виде

Например, плотность распределения вероятностей, рассмотренного на фиг. 2.14, есть , откуда следует, что

как и должно быть.

Так как любая функция распределения монотонно возрастает и то любая плотность распределения вероятностей должна удовлетворять условиям

и

Примеры. Часто встречаются следующие непрерывные плотности распределения вероятностей. Во всех примерах параметр положительная постоянная величина. Графики этих плотностей изображены на фиг. 2.21,

1. Экспоненциальное распределение

2. Распределение Релея

3. Равномерное распределение

4. Распределение Коши

5. Гауссовскос распределение

где

Функция не является элементарным интегралом, но имеются хорошие таблицы для ее дополнения (см. [59]). Она связана с более известной функцией ошибок

соотношением

В качестве примера вычисления вероятности с использованием плотности распределения вероятностей рассмотрим интервал . Если случайная величина имеет экспоненциальное распределение, то

Двумерные плотности распределения вероятностей. Удобный способ записи вероятностей в виде интегралов распространяется и на случай двух случайных величин и если определить плотность совместного распределения вероятностей таким способом, чтобы для любой двумерной области

(Аргументы связаны соответственно с ) Желательно определить так, чтобы было справедливо равенство (2.52). Для этого рассмотрим сначала малую прямоугольную область, изображенную на фиг. 2.22:

Из равенства (2.52) следует, что

Фиг. 2.22. Малая прямоугольная область.

Правая часть соотношения (2.53а) может быть представлена в виде

Если частная производная по существует, то для малых это. выражение приблизительно равно

Наконец, если существует, то для малых значении это выражение в свою очередь приблизительно равно

Таким образом, если одновременно малы, то

когда эта производная существует.

Теперь рассмотрим произвольную двумерную область I на плоскости (Фиг 2.23). Область I можно разбить на малые непересекающиеся прямоугольные области одной и той же площади Согласно свойству III вероятности, вероятность того, что точка принадлежит области .

Фиг. 2.23. Разбиение области на малые непересекающиеся прямоугольные области.

равна сумме вероятностей того, что эта точка принадлежит каждой из этих областей. Если дифференцируема, то в пределе, когда одновременно стремятся к нулю, получаем

Полагая

можно кратко записать соотношение (2.54) в векторных обозначениях:

где

и (кратное) интегрирование производится по всем точкам а двумерной области

Точно так же, как в одномерном случае, выражение (2.55) оказывается недостаточным для определения плотности совместного распределения в точках, где не непрерывна. Как показано ниже на примерах, этой трудности удается снова избежать путем введения импульсов.

Так как любая функция совместного распределения вероятностей является функцией, монотонно возрастающей по обеим переменным и то, очевидно, любая плотность совместного распределения должна быть неотрицательной в любой точке

Кроме того, поскольку то должна удовлетворять соотношению

Примеры. Примером часто используемой плотности совместного распределения, которая всюду непрерывна, является двумерная гауссовская плотность

изображенная на фиг. 2.24 для нескольких различных значений параметра

Примером чисто импульсной плотности совместного распределения является плотность

изображенная на фиг. 2.25. Положительные значения вероятностей сконцентрированы в 36 точках . Эту плотность можно использовать для описания математической модели игры в кости.

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 2.25. Двумерная импульсная плотность распределения вероятностей. Интеграл от импульса, т. е. число, на которое умножается единичный импульс, называется значением импульса. Импульс или в двумерном случае произведение импульсов изображается вертикальной линией, высота которой равна А.

Встречаются также плотности совместного распределения, являющиеся импульсными в одномерном случае и непрерывными в многомерном. Например,

Как показано на фиг. 2.26, эту плотность можно рассматривать как импульсные «стенки» вдоль линий

В качестве простого примера использования совместной плотности для вычисления вероятности рассмотрим событие

и двумерную гауссовскую плотность, задаваемую равенством (2,58), с параметром :

В соответствии с равенством (2.56а)

где область — внутренность круга радиуса с с центром в начале координат на плоскости Интегрирование легко производится путем замены переменных

Поскольку дифференциальный элемент площади в полярных координатах равен то

Исключение одной случайной величины. В приложениях часто бывает известна плотность совместного распределения тогда

(кликните для просмотра скана)

как интерес представляет одномерная плотность Эта плотность легко может быть вычислена следующим образом. В соответствии с равенством (2.56)

Но уже было установлено (свойство V функции совместного распределения), что

Следовательно,

Как обычно, находится путем дифференцирования Поскольку производная определенного интеграла по верхнему пределу вычисляется по правилу

если непрерывная функция в точке то

Равенство (2.63) является обобщением формулы полной вероятности (2.236).

Иногда может оказаться полезной интерпретация двумерной плотности совместного распределения как плотности массы, распределенной по плоскости, причем суммарная масса равна 1. Подобное распределение массы можно представить себе с помощью фиг. 2.27. Вероятность того, что случайная величина принадлежит области отождествляется с суммарной массой, распределенной по области поскольку суммарная масса такие получается путем интегрирования плотности массы. Эту аналогию можно расширить, считая, что интегрирование вдоль одной из осей на плоскости, как в соотношении (2.63), определяет (одномерную) плотность массы вдоль второй оси. Таким образом, интеграл соответствует и двумерной задаче суммарной массе бесконечной полосы, параллельной оси и заключенной между как показано на фиг. 2.27.

В качестве примера вычисления по рассмотрим двумерную, гауссовскую плотность (2.58). Тогда для заданного значения

Этот интеграл легко берется, если выделить полный квадрат под знаком экспоненты и положить

Таким образом, случайная величина (и аналогично ) также имеет гауссовское распределение. В рассматриваемом случае совместного гауссовского распределения вероятность того, что случайная величина лежит в неограниченной полосе, изображенной на фиг. 2.27, следовательно, равна

где функция, определенная равенством (2.50).