7.4. КАНАЛЫ С ЗАМИРАНИЯМИ

Выше были рассмотрены ситуации, в которых случайны либо фаза, либо амплитуда принимаемого сигнала. Сейчас мы исследуем ситуацию, в которой случайны как фаза, так и амплитуда. В частности, изучим построение и характеристики оптимальных приемников в случае, когда передаваемый сигнал

а принимаемый сигнал при отсутствии аддитивного шума

Будем предполагать, что в равенстве низкочастотный модулирующий сигнал с шириной полосы и что совместная плотность распределения вероятностей параметров затухания и фазы

Таким образом, статистически независимы и

Затухание при передаче а имеет релеевское распределение с параметрами

Это значит, что если переданная энергия равна

то средняя энергия принимаемого сигнала равна

МОДЕЛЬ С РАССЕЯНИЕМ

Поучительно исследовать условия, при которых соотношения (7.74а) и (7.74б) между входом и выходом канала являются разумной идеализацией реальной задачи, возникающей в технике связи. Рассмотрим ситуацию, изображенную на фиг. 7.39, когда имеется большое число «рассеивателей», расположенных в случайных точках на пути распространения волны. Пусть, компонента, принимаемая от рассеивателя,

Тогда совокупный принимаемый сигнал при отсутствии шума будет равен

Если все задержки малы по сравнению с величиной, обратной ширине полосы но сравнимы с то можно записать

где . Равенство написано на основании того, что будучи узкополосной функцией, не может сильно изменяться на коротком временном интервале порядка так что для всех

Если подается на синусоидальный и косинусоидальный демодуляторы ДАМ (подобные тем, которые изображены на фиг. 7.14б), то на выходах будут сигпалы

и

Исследуем теперь статистические свойства параметров

и

Простейшим является случай (только он и будет рассмотрен), в котором статистически независимы и равномерно распределены на интервале Предположим вначале, что статистически независимые и не зависящие от величин случайные величины, имеющие одинаковые распределения. Тогда центральная предельная теорема утверждает, что пара

случайных величин большом числе рассеивателей является приближенно гауссовской. Кроме того, вследствие статистической независимости величин и имеем

Но

и

где используется статистическая независимость Это означает, что равенства принимают вид

Отсюда видно, что не только гауссовские, но и статистически не зависимые друг от друга случайные величины; они имеют нулевые средние значения и равные дисперсии. Следовательно,

где

В связи с соотношениями интересно отметить, что из центральной предельной теоремы следует, что совместная плотность распределения вероятностей задается равенствами даже если являются

тоянными, т. е.

Таким образом, критическими условиями возможности моделирования как статистически независимых гауссовских случайных величин являются статистическая независимость и равномерная распределенность величин и большое число рассеивателей. Предположение, что эти условия выполняются, справедливо во многих случаях, представляющих практический интерес, в частности они выполняются в каналах с тропосферным и ионосферным рассеянием.

Теперь нетрудно заметить, что плотность распределения приводит к соотношениям и задающим связь между входом и выходом канала. Можно восстановить по квадратурным компонентам так что

где

Ранее, однако, отмечалось [см. при р = 0], что плотность распределения вероятностей задаваемая равенством (7.83а), приводит к плотности распределения вероятностей задаваемой равенством (7.75а). Таким образом, в рассматриваемой модели канала с рассеиванием принимается сигнал, у которого фаза распределена равномерно, а амплитуда имеет релеевское распределение.

ОДНОКРАТНАЯ ПЕРЕДАЧА

Рассмотрим теперь простейший случай, в котором учитываются как замирания, так и аддитивный белый гауссовский шум и в котором описывает однократную передачу одного из равновероятных низкочастотных сигналов Совокупным принимаемым сигналом в этом случае будет сигнал

Определение структуры оптимального приемника можно выполнить непосредственно. Заметим вначале, что если бы было известно значение а, то оптимальный приемник действовал бы точно так же, как если бы множеством модулирующих сигналов было множество и в соответствии с он должен был бы определять то значение для которого максимально выражение

Здесь через обозначена энергия как и ранее, величину

можно рассматривать как выборку огибающей на выходе полосового фильтра, согласованного Если все равны между собой, то решение, принимаемое согласно этому правилу, будет одним и тем же независимо от конкретного (положительного) значения а. В этом случае детектор огибающей, изображенный на фиг. 7.31, все еще остается оптимальным приемником, хотя а является теперь (положительной) случайной величиной.

Вероятность ошибки. Для и ортогональных сигналов с энергией легко также найти вероятность ошибки. Из получаем

Но

и — статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевым средним значением и дисперсией 6/2. В соответствии с этим

Прибегая к помощи леммы с равенством в случае получаем

где — среднее значение принимаемой энергии.

Обсуждение. Равенство утверждает, что минимально возможная вероятность ошибки при передаче одного из двух равновероятных ортогональных сигналов по каналу с релеевскими замираниями убывает лишь обратно пропорционально переданной энергии. Такое поведение вероятности ошибки резко отличается от вероятности ошибки в случае отсутствия замираний, когда она убывает экспоненциально в зависимости от Это различие в характеристиках является следствием того, что даже тогда, когда велика средняя принимаемая энергия в канале с замираниями, существует еще ощутимая вероятность того, что энергия, в действительности принятая при какой-либо фиксированной передаче, очень мала, т. е. существует заметная вероятность «глубоких замираний». Ото очевидным образом следует из графика релеевской плотности распределения вероятностен, изображенного на фиг.

ПЕРЕДАЧА С РАЗНЕСЕНИЕМ

Единственный эффективный метод снижения вероятности ошибки в канале с релеевскими замираниями состоит в том, чтобы устранить высокие значения вероятности глубоких замираний при одиночной передаче сигнала. Это можно выполнить, осуществляя передачу с разнесением. Идея разнесения проста: интересные для практики каналы с рассеянием замечательны тем, что рассеивающие элементы на фиг. 7.39 движутся со временем случайно относительно друг друга. Это значит, что амплитуда и фаза принимаемого сигнала в действительности являются случайными процессами [обозначим их как и ]. Конечно в любой фиксированный момент наблюдения параметры а и являются случайными величинами, имеющими соответственно релеевское и равномерное распределение. Проведенный выше анализ однократной передачи остается, следовательно, справедливым, если длительность сигнала достаточно мала относительно скорости изменения процессов и так что эти процессы относительно постоянны на интервале времени, занимаемом сигналом. Однако на достаточно большом интервале времени естественно ожидать, что наблюдаемые значения будут флуктуировать, становясь иногда большими, а иногда малыми. Один из видов разнесения, называемый разнесением во времени, состоит в посылке одного и того же сигнала несколько раз подряд (скажем, раз) в надежде, что не все посылки подвергнутся глубоким замираниям.

Фиг. 7.39. Рассеяние передаваемого сигнала.

Целью разнесения во времени является размещение последовательных посылок по времени так, чтобы замирания, имеющие место при каждой однократной передаче, были статистически независимыми. Пусть моментами начала однократных передач последовательных сигналов будут моменты Значение наблюдаемое в некоторый момент времени, зависит в первую очередь от имеющих место в этот момент соотношений между фазами взаимно интерферирующих и получающих приращения слабых волн, принимаемых от отдельных рассеивателей. В соответствии с этим если достаточно далеко отстоят относительно друг друга, то выборки фаз

являются статистически независимыми, так же как и соответствующие выборки затуханий

Предположим поэтому в дальнейшем рассмотрении, что

где

Так же как в случае однократной передачи, предположим, что при

В равенстве (7.89д) учитывается, что параметры замираний действующие на различные посылки сигнала, могут быть не равны. В качестве последнего предположения примем, что продолжительность каждой из разнесенных посылок достаточно мала по сравнению с интервалами между моментами так что замирание на протяжении каждой посылки можно считать постоянным.

До сих пор рассматривалось только разнесение во времени. Другими методами построения различных принимаемых сигналов являются разнесения по частоте и по пространству. Эти способы кратко обсуждаются в конце этой главы. Так как характеристики, достижимые при использовании разнесения, зависят лишь от -мерной совместной плотности распределения вероятностей последующее рассмотрение не зависит от вида разнесения, задающего .

Оптимальные приемники при разнесении Если используется -кратное разнесение во времени совместно с демодуляцией (фиг. 7.40), то каждая посылка дает пару низкочастотных сигналов на выходе: по одному из синусоидального и косинусоидального демодуляторов. Таким образом, всего имеется существенных низкочастотных сигналов, доступных на приемном конце. Рассмотрим оптимальный способ использования этих сигналов для определения

Фиг. 7.40. Демодуляция при передаче с -нратным разнесением но времени. Если то низкочастотный сигнал равен

Для рассматриваемой модели канала с рассеянием результирующие выходы демодулятора будут

Предполагая, что сообщениями на входе являются и нумеруя выходы косинусоидального демодулятора последовательно числами от 1 до а выходы синусоидального демодулятора последовательно числами от до можно записать сигналов в виде

Для упрощения обозначений здесь каждая из посылок отнесена к ее собственному началу отсчета времени. Важно напомнить, однако, что последовательные посылки в действительности производятся на непересекающихся интервалах времени, так что представляют собой статистически независимые шумовые процессы.

В соответствии с равенствами величины являются статистически независимыми релеевскими случайными величинами с личины статистически независимые случайные величины, каждая

из которых распределена равномерно на интервале Если положить

то можно представить в виде

Совокупность состоит из статистически независимых гауссовских чайных величин с нулевыми средними значениями и дисперсиями

где

Наконец, выражая через соответствующим образом выбранное множество ортонормальных функций имеем

так что в векторной форме равенство будет записываться следующим образом:

где все векторы имеют по компонент.

Как обычно, существенная часть аддитивной шумовой помехи содержится в Каждая компонента является гауссовской случайной величиной с нулевым средним значением и дисперсией и статистически не зависит от всех других параметров, входящих в задачу.

Для описания оптимального приемника удобно сократить обозначения, введя в рассмотрение векторы с компонентами

Если то оптимальный приемник полагает равным такому для которого максимальна вероятность Предполагая, что все равновероятны, получим

Но векторы шума статистически независимы и

где

Поэтому при фиксированных затуханиях при передаче получим

Так как случайные величины, то отношение правдоподобия можно получить, усредняя (7.100) по Это значит, что оптимальный

приемник определяет такое которое максимизирует

В последнем приближенном равенстве было использовано то, что статистически независимы, а также были отброшены множители, не зависящие от

Показатель экспоненты в (7.101) можно раскрыть следующим образом:

где Подставляя результат (7.102) в (7.101), отбрасывая члены, которые не зависят от и введя обозначение находим

Каждое из математических ожиданий, входящих в (7.103), может быть найдено с помощью леммы с равенством в котором следует положить

Но

Таким образом,

Обозначая весовые множители через

а постоянные смещения через

неравенство (7.104) можно упростить, записав как

Фиг. 7.41. Оптимальный приемник с детектором огибающей при передаче с -кратным разнесением по времени. Импульсные отклики согласованных фильтров равны Каждый из блоков «квадратичный детектор огибающей» содержит детектор огибающей, за которым следует устройство, выполняющее операцию возведения в квадрат.

Следовательно, оптимальный приемник определяет тот индекс для которого принимает максимальное значение решающая функция

Если все имеют равные энергии то не зависят от и поэтому ими можно пренебречь. Если, кроме того, среднеквадратические значения затуханий являются одинаковыми для всех посылок, то весовые множители оказываются одинаковыми при любых и также могут быть опущены, В этом случае оптимальное правило решения будет следующим:

Если принимается решение тогда и только тогда, когда максимально выражение

Величину найти, вычисляя сначала корреляцию низкочастотного сигнала с выходами синусоидального и косинусоидального демодуляторов для каждой из посылок и возводя затем результаты в квадрат и суммируя. Далее, пользуясь равенствами и можно установить, что для каждой посылки, является квадратом огибающей выхода фильтра, согласованного с Это значит, что оптимальный приемник может суммировать (по всем посылкам) квадраты отсчетов огибающих с выходов фильтров, каждый из которых согласован с одним из полосовых сигналов, и определять в соответствии с тем, какая из сумм будет наибольшей. Такой приемник изображен на фиг. 7.41.

Когда средние энергии, припимаемые на каждой из разнесенных посылок, не равны друг другу, квадраты отсчетов огибающей до суммирования должны быть взвешены. Если при передаче каждой посылки отношение средней принимаемой энергии к спектральной плотности шума является очень малым, то, как следует из (7.105а), весовые множители пропорциональны этому отношению. Когда же становится очень

большим, стремятся к 1. Во всех случаях, кроме того, в котором все равны друг другу, для оптимальности принимаемого решения необходимы постоянные смещения

Интерпретация приемника [47]. Если бы затуханий не были случайными величинами и были бы известны заранее на приемном конце, то оптимальная стратегия при приеме равновероятных сообщений состояла бы в определении такого значения для которого максимальна Из (7.100) и (7.102а) следует, что приемник должен был бы максимизировать выражение

где

С другой стороны, было показано [см. (7.106)], что если являются гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними значениями, то оптимальный приемник максимизирует

Это выражение можно переписать в виде, аналогичном (7.107а), если ввести обозначение

При этом получим

Представляет интерес наглядная интерпретация равенства (7.108в). Можно представить себе каждое значение как оценку затухания построенную на основе принятого сигнала и гипотезы, что было передано такой интерпретации оптимальный прием можно рассматривать как совокупность двух операций, первая из которых состоит в оценке каждой из величин на основе гипотезы и принятого сигнала а вторая — в проверке этой гипотезы (без учета смещепия так, как если бы было известно, что каждая из величин равна своей оценке Поскольку в общем случае принятые оценки для каждой из величин отличаются друг от друга при различных гипотезах то реализация приемника, действующего таким образом, была бы сложиа. Однако это наглядное толкование выявляет сущность метода построения «хорошего» приемника в ряде ситуаций, в которых не являются гауссовскими.

Покажем теперь, в каком смысле являются оценками . В частности, покажем, что

где правая часть равенства является «условным средним значением при условии, что заданы

Равенство (7.109) можно доказать непосредственным образом. Определим вначале, как меняется в зависимости от Опуская

не зависящие от множители, будем иметь

Последнее приближенное равенство в (7.110) следует из соотношений и (7.101), а также из того, что статистически независимы от передаваемого сообщения. Дополняя показатель экспоненты до полного квадрата и снова опуская множители, не зависящие от получим

Используя определение данное равенством (7.105а), можно дать эквивалентное выражение

Так как функциональная зависимость от в представлении (7.111а) имеет гауссовский вид, то гауссовская плотность распределения вероятностей. Отсюда сразу же следует, что условное среднее значение величины равно

и что условная дисперсия равна Это. значит, что действительно является условным средним значением при условии, что заданы

Наконец, оказывается, что наилучшая в смысле минимума среднеквадратической ошибки оценка основанная на знании Этот факт непосредсъвенно следует из того, что если у является некоторой случайной величиной со средним значением — какая-либо оценка то выбор минимизирует среднеквадратическую ошибку . В самом деле, пусть — любое другое число, скажем

Тогда

где минимум имеет место тогда, когда Это справедливо независимо от того, какая система вероятностей используется при вычислении математического ожидания. В частности, если эта система вероятностей задается как условная при некотором множестве условий, то у является условным средним значением и будет условной дисперсией. Таким образом, равенства (7.111а) и (7.1126) показывают, что когда оценивается с помощью при заданных то среднеквадратическая ошибка равна просто условной дисперсии

Вероятность ошибки. Хотя точное вычисление максимально достижимой вероятности ошибки при -кратном разнесении в канале с замираниями довольно сложно даже, когда относительно легко получить полезную верхнюю границу вероятности ошибки. Это будет сделано ниже. Предварительно определим здесь выражение для в том простом случае, когда все затуханий имеют одно и то же среднеквадратическое

значение, т. е. если

Предположим, что имеются два равновероятных сообщения и что соответствующие низкочастотные сигналы на входе модулятора на передатчике являются ортогональными и имеют одинаковую энергию Это значит, что эти сигналы можно представить векторами

В соответствии с соотношением (7.106) и следующими после него рассуждениями оптимальное правило решения состоит в принятии решения тогда и только тогда, когда

Условие, эквивалентное этому, состоит в том, что

где

Если

Так как статистически независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями

то статистические независимые гауссовские случайные величины с нулевыми средними значениями и дисперсиями

Введя обозначения

из (7.1156) видим, что если то ошибка возникает тогда и только тогда, когда

Обозначив через и соответственно условные плотности распределений величин при условии, что будем, следовательно, иметь

Как так и случайные векторы с компонентами, причем эти компоненты являются одинаково распределенными статистически независимыми гауссовскими случайными величинами с нулевыми средними значениями. Дисперсии компонент равны а дисперсии компонент равны . В приложении определяется плотность распределения вероятностей модуля такого -мерного вектора в случае дисперсии компонент равной 1, Из равенств и получаем

где

Изменяя масштаб для перехода к дисперсии и упрощая полученное выражение, находим

Выполняя в равенстве (7.120) интегрирование по частям, получаем сначала

и затем

В силу симметрии

Вероятность ошибки зависит от средней энергии принятого сигнала только через посредстьо параметров

и

Эти параметры можно найти, если заметить из соотношений (7.122), что если Используя величины и задаваемые равенствами (7.117б), получаем

что согласуется при (случай отсутствия разнесений) с вероятностью ошибки, заданной равенством Соотношение (7.122) можно записать - (см. [67]) в сжатой форме через

Верхняя граница для Соотношения (7.124), хотя и являются точными, остаются громоздкими и неудобными для использования при больших Здесь будет получена экспоненциально точная верхняя граница для минимально возможной вероятности ошибки в случае двух ортогональных сигналов, имеющих одинаковые энергии которая остается справедливой даже тогда, когда затуханий не имеют обязательно равные среднеквадратические значения. При этом будут использованы границы Чернова. Когда

не все равны, оптимальный приемник должен использовать весовые множители входящие в равенство (7.105а). Для двоичных сигналов с одинаковыми энергиями

где — средняя энергия, принимаемая на посылке. Равенство (7.106) утверждает в этих условиях, что оптимальный приемник принимает решение тогда и только тогда, когда

1 Эквивалентным неравенством, аналогичным (7.115б), будет неравенство

где теперь определены так, чтобы включить в себя весовые множители

Если имеем

что

Снова являются независимыми гауссовскими величинами с нулевыми средними значениями.

В соответствии с (7.127б) если то ошибка происходит тогда и только тогда, когда

Вероятность этого события равна

Фиг. 7.42. Функция единичного сказка и экспоненциальная верхняя граница.

где функция единичного скачка, изображенная на фиг. 7.42, и математическое ожидание вычисляется при условии, что

Можно получить границу Чернова для заметив, что для любого функция единичного скачка ограничена сверху экспонентой

Таким образом,

В соотношении (7.131) при замепе среднего значения произведения произведением средних значений использована статистическая независимость величин

Каждое из математических ожиданий в (7.131) можно оценить с помощью леммы с равенством причем в этом равенстве следует положить Тогда нолучаем

Поэтому при

Так как

Оставшаяся задача состоит в выборе параметра X так, чтобы граница была возможно более точной. Значение X, минимизирующее сомножитель, определяется из уравнения

или

откуда

Так как это минимизирующее значение не зависит от и попадает в область значений, допустимых для параметра

Введем обозначение

тогда результат можно переписать более компактно как

Неравенство (7.1356) дает искомую границу. Заметим, что при она отличается от точного выражения (7.124), т. е. множителем Если все среднеквадратические значения затуханий на посылках

Фиг. 7.43. (см. скан) Отношение к границе Чернова для -кратного разнесения с одинаковыми ветвями;

равны то для всех I и граница упрощается, принимая вид

Точное выражение (7.124) и границу (7.136) можно легко сравнить» если перенисатьпервое выражение в виде

Параметр К изображен на фиг. 7.43 как функция от Для нескольких значений Видно, что К всегда меньше, чем 0,5, и с ростом асимптотически стремится к постоянной, зависящей от Нетрудно показать, что эта постоянная близка к

если велико.

ОПТИМАЛЬНОЕ РАЗНЕСЕНИЕ

Если наиболее важным параметром при построении системы связи использующей разнесение, является вероятность ошибки, минимально возможная при заданной затрате энергии на одну двоичную единицу сообщения на входе, то из соотношения (7.136) следует, что существует оптимальный выбор числа разнесенных посылок Предположим, что все значения равны друг другу и энергия делится поровну между всеми посылками. При общем числе посылок энергия, которую можно затратить на одну посылку, равна

а отношение средней энергии принимаемого сигнала к спектральной плотности шума, отнесенное к одной посылке, будет

Теперь имеем

так что граница (7.136) принимает вид

где введено обозначение

Множитель изображен как фупкция от на фиг. 7.44, откуда видно, что максимальное значение приближенно равно 0,215 и достигается при Это значит, что при помощи разнесения вероятность ошибки

Фиг. 7.44. «Коэффициент эффективности» для как функция кратности разнесения и отношения сигнал/шум, рассчитанного на одну разнесенную посылку.

можно сделать экспоненциально убывающей, несмотря на то что канал подвержен замираниям. Максимум на фиг. 7.44 довольно плоский; выбор

дает границу

Для сравнения укажем, что при использовании двух равновероятных ортогональных сигналов с энергиями в гауссовском канале без замираний и с неизвестной фазой равенство дает

Таким образом, замирание обходится приближенно в 5,25 дб мощности сигнала.

Легко понять, почему существует оптимальное значение . С одной стороны, при фиксированном значении общей энергии увеличение приводит к уменьшению среднего отношения сигнал/шум на выходе полосового фильтра, согласованного с и потери, вносимые некогерентным приемом, возрастают. С другой стороны, увеличение дает дополнительное разнесение и уменьшает вероятность того, что большинство посылок передается в условиях глубоких замираний. Оптимальное значение соответствует наилучшему компромиссному выбору между двумя этими эффектами