Фиг. 3.25. Если 
гауссовский процесс, то процессы 
и 
являются совместно гауссовскими.
Второй пример приложения этого свойства рассматривается здесь. Пусть 
подается на вход двух (или более) линейных фильтров, соединенных параллельно, как показано на фиг. 3.25. Рассмотрим вектор выборочных значений
полученный наблюдением процесса 
на выходе первого фильтра в моменты 
и процесса 
на выходе второго фильтра в моменты 
Поскольку вектор 
получается в результате линейных преобразований процесса 
то 
оказывается гауссовским вектором при любых 
Это утверждение остается верным и для выборки 
из процессов на выходе параллельно соединенных фильтров, если 
Совокупность из 
случайных процессов называется совместно гауссовской, если любой вектор, построенный подобно вектору 
при наблюдении этих процессов оказывается совместно гауссовским.
Каждый из двух совместно гауссовских случайных процессов 
и 
определен, если известны функция средних и корреляционная функция этого процесса. Однако, для того чтобы задать плотность совместного распределения вероятностей вектора, подобного вектору 
необходимо знать ковариации для любой пары компонент вектора. Таким образом, чтобы процессы 
и 
были определены совместно, должны быть заданы ковариации
для любой пары моментов наблюдения 
Эти необходимые нам дополнительные сведения содержатся в функции
которая называется совместной корреляционной функцией процессов 
Для примера, иллюстрируемого фиг. 3.25, совместная корреляционная функция легко выражается через 
и импульсные отклики двух фильтров 
. А именно,
Фиг. 3.26. Фильтры 
не перекрываются но частоте. Если 
стационарный процесс, то
Обозначая интегралы по а и Р функциями 
соответственно, получаем
Равенство (3.128) и есть искомый результат. Поскольку функция 
так же как 
функции 
и 
зависит только от разности 
если процесс 
стациопарный, то мы приходим к выводу, что плотность распределения вероятностей любого вектора, подобного вектору 
не зависит от начала отсчета времени, если процесс на входе 
является стационарным гауссовским процессом. В этом случае 
и 
называются совместно стационарными процессами 
Рассмотрим важный частный случай, когда функции Ни 
не налагаются (фиг. 3.2, а). Тогда из равенства (3.128) следует, что
Кроме того, из стационарности процесса 
следует, что функция 
постоянна, так что ту 
(По меньшей мере у одного фильтра должен быть нулевой отклик на постоянный ток на входе, если эти функции не налагаются одна на другую.) Таким образом, любая ковариация, связывающая значения обоих процессов 
и 
[такая, например, как выражение (3.125)], должна обращаться в нуль. Для процесса 
являющегося сразу гауссовским и стационарным, отсюда следует
для любых векторов
Если для всех 
удовлетворяется условие (3.130), то процессы 
называются статистически незвасимыми процессами.
видели, вследствие этого выборка из значений процесса 
на выходе линейного фильтра, на вход которого подается гауссовский случайный процесс 
всегда имеет совместно гауссовское распределение, откуда в свою очередь следует, что процесс 
также является гауссовским.
