СПЕКТРАЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ

Важного вклада в понимание влияния фильтрации на случайный процесс (который снова не обязательно является гауссовским) можно достичь, рассмотрев тот частный случай равенства (3.108), когда зависит только от длины интервала между выборочными моментами наблюдения и 5. В частности, при этих условиях можно исследовать распределение средней мощности процесса как функции от частоты. В соответствии с этим далее в этом разделе предполагается, что

где

и используются обозначения (3.100).

После подстановки в равенство (3.108) условия (3.109) получаем

Делаем замену переменных Тогда

Поскольку правая часть этого равенства зависит только от мы приходим к выводу, что если является функцией только от то же самое верно и относительно функции :

Равенство (3.110а) можно упростить, если ввести преобразования Фурье Функций :

Тогда обратные преобразования выражаются равенствами

и

Если вместо подставить и использовать равенство (3.1126) для того, чтобы выразить через то равенство (3.110а) примет вид

Нетрудно видеть, что интеграл по представляет собой передаточную функцию фильтра а интеграл по функцию Таким образом,

и, сравнивая это равенство с равенством (3.112а), получаем

Возможна следующая интерпретация равенства (3.114). Во-первых, заметим, что если выполнено условие (3.109), то среднее квадратичное значение процесса на выходе фильтра не зависит от времени:

Далее будем рассматривать как семейство кривых напряжения или тока, пропускаемого через сопротивление в 1 ом, так что равен мгновенной мощности, рассеиваемой на сопротивлении в момент в случае кривой, связанной с элементарным событием Следовательно, интерпретируется как математическое ожидание мощности, рассеиваемой на сопротивлении в любой момент времени. Из равенств (3.112а) и (3.114) получаем

Если теперь в качестве взять фильтр, показанный на фиг. 3.22, для которого

то

Скоро мы увидим, что всегда является четной функцией от частоты. Поскольку из равенства (3.117) следует, что средняя мощность процесса в любой узкой полосе частот ширины с центром приблизительно равна (фиг. 3.23), то функция описывает распределение по частоте средней мощности процесса По этой причине называется спектральной плотностью мощности процесса

Стационарность в широком смысле. В выводе равенства (3.1176) существенно то, что ; если это условие не выполняется, то преобразование Фурье (3.111) не имеет смысла и плотность мощности не определена.

(кликните для просмотра скана)

Поскольку знание функции на выходе линейного фильтра равносильно знанию то воздействие линейного фильтра на гауссовский процесс на входе полностью описывается соотношением (3.114) (совместно с соотношением связи (3.107) между функциями средних). Если не гауссовский процесс, то это не так, хотя равенствами (3.115) и (3.116) и можно пользоваться для вычисления общего среднего квадратичного значения мгновенной мощности на выходе фильтра. Эта возможность и само понятие спектральной плотности мощности случайного процесса настолько важны сами по себе, что процессы удовлетворяющие условиям

получили специальное название процессов, стационарных в широком смысле Чтобы избежать возможной путаницы, вместо термина «стационарность», введенного нами в разд. 3.1, часто используют термин «стационарность в узком смысле».

Любой процесс, стационарный в узком смысле, является также и стационарным в широком смысле, но обратное утверждение не верно, как видно на примере процесса, заданного соотношением (3.101). Гауссовский процесс, стационарный в широком смысле, является также и стационарным в узком смысле, поскольку этот процесс удовлетворяет всем условиям (3.100).

Свойства и Поскольку спектральная плотность мощности стационарного в широком смысле случайного процесса является преобразованием Фурье от корреляционной функции то свойства этих двух функций тесно взаимосвязаны. Прежде всего отметим, что вещественная четная функция от

Это следует из определения поскольку вещественный процесс и, кроме того,

Из равенства (3.119) следует, что также вещественная четная функция от Для доказательства этого утверждения заметим, что поскольку четная функция, — нечетная функция, то

Но

и, следовательно,

В правой части равенства (3.120) стоит четная функция от так что доказательство завершено.

Далее, мы утверждаем, что должна быть также неотрицательной функцией:

Очевидно, что это необходимое условие для того, чтобы интерпретация как спектральной плотности мощности была осмысленной. Для доказательства этого факта заметим, что если бы свойство (3.121) было неверно, то можно было бы выбрать частоты и для прямоугольного фильтра, показанного на фиг. 3.24, так, чтобы

Но из равенств (3.117) и четности функции следует, что этот интеграл равен половине математического ожидания квадрата случайного процесса на выходе фильтра, так что неравенство (3.122) противоречило бы тому, что величина должна быть неотрицательной.

Из неотрицательности функции не следует, однако, что неотрицательна и функция Это свойство лишь означает, что корреляционная функция любого стационарного в широком смысле случайного процесса удовлетворяет неравенству

В самом деле,

Свойство (3.123) позволяет дать интерпретацию условиям, при которых справедливы соотношения (3.107) и (3.108), связывающие процессы на входе и на выходе фильтра. Для стационарных в широком смысле случайных процессов

так что требование конечности двойного интеграла в равенстве (3.108) эквивалентно требованию того, чтобы средняя мощность процесса на выходе была конечной при всех Можно показать, что это требование является достаточным, даже если процесс не является стационарным.