ВРЕМЯ-ИМПУЛЬСНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

Одним из известных примзрэз нелинейной модуляционной схемы, подавляющей шум, является время-импульсная модуляция (ВИМ). Вначале рассмотрим идеализированную систему передачи одного параметра. Как показано на фиг. 8.27, ограниченная случайная величина на входе вызывает импульс величины в момент Этот импульс возбуждает идеальный низкочастотный фильтр с шириной полосы Выход фильтра усиливается и передается, так что

Здесь

— функция с единичной энергией, подобная тем функциям, которые используются в теореме отсчетов, если не считать того, что ширина полосы здесь равна , а не .

Фиг. 8.27. Идеализированный ВИМ-передатчик;

Вид ВИМ-приемника максимального правдоподобия непосредственно следует из равенства (8.84): так как передаваемая энергия не зависит от значения имеем

Но правая сторона соотношения (8.88) просто равна выходу в момент согласованного фильтра с импульсным откликом

на вход которого подается принимаемый сигнал Так как то приемник максимального правдоподобия должен лишь пропустить принимаемый сигнал через другой идеальный фильтр с ограниченной полосой, определит!» момент времени в который выход фильтра максимален, и принять решение . Такой приемник изображен на фиг. 8.28.

Подавление слабого шума. Несмотря на то что множество сигналов не может бить описано в конечномерном пространстве сигналов, рассуждения, приводящие к равенствам (8.79), остаются справедливыми. Поэтому среднеквадратическую ошибку приемника максимального правдоподобия при слабом шуме можно определить, вычислив

Фиг. 8.28. Идеализированный ВИМ-приемник максимального правдоподобия.

и показав, что правая часть этого равенства не зависит от . Штрих в (8.90) обозначает дифференцирование по аргументу.

Вычислить во временной области было бы трудно, однако это легко сделать в частотной области. Так как является откликом идеального фильтра на импульс величины спектр имеет вид

Дифференцирование но времени соответствует умножению на в частотном представлении. Поэтому имеет спектр Теорема Парсеваля дает

Используя это равенство совместно с (8.90), получаем

причем не зависит от Из соотношения (8.796) следует, что

если шум является достаточно слабым, чтобы можно было пренебречь вероятностью аномального приема. Для несколько более сильного шума (8.94) можно рассматривать как условную среднеквадратическую ошибку при условии, что аномалия не имеет места.

Величина имеет важный смысл. Вспомним, что ширина полосы сигнала равна и что максимальные значения сигнала (который имеет бесконечную длительность) расположены на интервале, общая длительность которого равна Таким образом, удвоенное произведение ширины полосы сигнала и «длительности интервала сигнала». Принимая во внимание результаты приложений можно сказать, что величина в некотором смысле представляет собой размерность множества сигналов, несмотря на то что для точного представления бесконечного множества сигналов требуется пространство бесконечной размерности. Удвоенное произведение ширины полосы частот сигнала и длительности интервала сигнала мы будем называть эффективной размерностью множества сигналов и обозначать через Для рассматриваемых ВИМ-сигналов

Фиг. 8.29. Подавление слабого шума. Выход согласованного фильтра и приемника представляет собой сумму и ограниченного по полосе гауссовского шума. Как ясно следует из поведения кривых, чем круче фронты тем меньше смещение

Равенство (8.94), выраженное через , имеет вид

При линейной модуляции среднеквадратячеекая ошибка равна . Это значит, что ВИМ при слабом шуме имеет преимущество по сравнению с линейной модуляцией растущее как квадрат эффективной размерности. увеличением произведения выигрыш растет, и это происходит до тех пор, пока не появится аномалия.

Лучше понять сущность физического процесса, за счет которого подавляется слабый шум, можно, рассмотрев фиг. 8.29. Если ширина полосы функции много больше, чем то эффективная длительность мала по сравнению с и импульс сигнала на выходе согласованного фильтра имеет крутые фронты. Слабый шум на выходе согласованного фильтра складывается с сигналом на выходе, и в результате максимум суммы будет слегка сдвинут по отношению к максимуму сигнала. Чем больше ширина полосы сигпала, тем круче фронты импульса сигнала и тем меньше среднеквадратическое значение смещения.

Порог. Точное исследование характера поведения порога для ВИМ-приема но методу максимума правдоподобия кажется одновременно и трудным, и малоплодотворным. Однако можно провести приближенное исследование, которое проясняет основные черты явления. Его результаты очень хорошо согласуются с экспериментальными данными. В следующих рассуждениях символ используется для обозначения значения, которое в действительности приняло случайное сообщение на входе передатчика.

Рассмотрим фиг. 8.30, на которой изображен сигнал и на выходе согласованного фильтра когда на его вход подано Информационная компонента и достигает максимума в момент и слабый шум обычно приводит лишь к небольшому сдвигу действительно наблюдаемого максимума от момента Однако сильный шум может привести к тому, что максимум окажется далеко от и поэтому вызовет аномальную ошибку, как показано на фигуре.

Для того чтобы найти приближенное выражение вероятности аномальной ошибки, сосредоточим внимание на конечном множестве моментов времени целое число), определяемых равенством

Фиг. 8.30. Аномальный прием в сильном шуме.

Как следует из фиг. 8.31, для любого на интервала следовательно, для любого из допустимого интервала имеются лишь только

таких моментов, где — эффективная размерность множества сигналов. Равенство (8.96а) и свойства отсчетной функции приводят к тому, что

для любой пары моментов взятых из множества Так как сигналы ортогональны, то вероятность того, что в один из неправильных моментов времени из множества значение и будет больше, чем в момент близка к вероятности ошибки, возникающей при передаче одного из равновероятных сообщений при использовании ортогональных сигналов равной энергии. Пусть через В обозначено событие

Из равенств (4.96а), (4.111) и (2.121) получаем

Эта граница является довольно точной при обычных условиях работы.

Оказывается, что вероятность ошибки при ортогональных сигналах дает разумное приближение к тому, что хотелось бы подразумевать под вероятностью аномалии в рассматриваемой идеализированной системе ВИМ. При попытке сделать более точное утверждение возникают две трудности. Наиболее важная из них состоит в логической невозможности разбиения бесконечного множества всех возможных функций и на выходе фильтра, изображенного на фиг. 8.28, на два непересекающихся подмножества «аномальных» и «неаномальных» функций. Однако, как показано на фиг. 8.32, событие В включает большинство случаев, которые разумно было бы назвать аномальными, хотя в то же время оно содержит случаи, которые, очевидно, не являются аномальными, и исключает некоторые другие, которые, очевидно, являются аномальными.

Вторая трудность проиллюстрирована фиг. 8.33: очевидно, что евклидово расстояние между меньше, чем для некоторых значений лежащих между Можно подумать,

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 8.35. (см. скан) Экспериментальные точки показывают относительную частоту аномалий при ВИМ: сплошная кривая дает истинную вероятность для равновероятных ортогональных сигналов. Равенство (8.98) справедливо, если истинная вероятность аппроксимируется аддитивной границей для этой вероятности; аппроксимации становится точнее, когда уменьшается, что показано пунктирной кривой для .

что эти промежуточные значения вносят больший вклад в вероятность аномалии, чем ортогональные точки. Но возмоншость этого становится несущественной, если рассматриваются практические -сигналы, для которых затухающее колебание на выходе фильтра тщательно минимизируется при его построении. Так, например, были проведены измерения на лабораторной модели ВИМ-приемника максимального правдоподобия, который использовал приближенно гауссовский импульс, изображенный на фиг. 8.34. Эффективная размерность определялась как где А — полуширина импульса на уровне 10 дб, и считалось, что аномалия возникает тогда, когда выход приемника отличается более чем от передаваемого сообщения Хорошее согласие между экспериментально полученной относительной частотой аномалий и соотношением

очевидно из фиг. 8.35, Отсюда можно заключить, что при белом гауссовском шуме соотношение (8.98) дает хорошую оценку аномального поведения ВИМ-системы, работающей по методу максимума правдоподобия и использующей хорошо подобранные сигналы.

Фиг. 8.36. (см. скан) Графическое отыскание для ВИМ.

Оценка представленная равенством (8.98), совместно с выражением для среднеквадратической ошибки (8.95) показывает, каким образом можно построить эффективные ВИМ-системы. Определив максимально допустимое (пороговое) значение можно построить график зависимости определяемой (8.98), от Точно так же в соответствии с (8.95б) можно построить график максимально допустимого значения в случае, когда нет аномалий. Как показано на фиг. 8.36, пересечение этих двух кривых указывает приближенно минимально приемлемое значение и соответствующее ему требуемое значение

Характеристики качества передачи одного параметра при помощи непрерывной ВИМ могут быть получены, если объединить два результата: среднеквадратическую ошибку при отсутствии аномальных эффектов и среднеквадратическую ошибку, вносимую аномалиями. Когда возникает аномалия, равновероятными становятся по существу все значения на леем интервале независимо от посланного значения (Совокупность взаимно ортогональных сигналов полностью симметрична.) Более того, событие «аномалия» не зависит от Поэтому

Фиг. 8.37. (см. скан) Отношение сигнал/шум при обычной ВИМ, когда имеет равномерное распределение.

где — условное математическое ожидание при условии, что имеет место аномалия. Если предположить, что равномерно распределено на интервале и обозначить общую среднеквадратическую ошибку через то равенства (8.95) и (8.98) дадут

Равенство (8.100) можно иллюстрировать графически, изображая отношение сигнал/шум на выходе, которое, согласно (8.21а), равно Типичные графики представлены на фиг. 8.37. Точка резкого изменения наклона кривых отношения сигнал/шум на выходе выделяет «пороговую область».

Использование в качестве характеристики качества передачи одного параметра требует некоторой осторожности: статистические свойства и влияние аномальных эффектов, с одной стороны, и аддитивного гауссовского шума, с другой, — явления весьма различной природы. В частности, если бы

Фиг. 8.38. Приближенная проекция части кривой мыожестна сигналов для идеализированной ВИМ на трехмерную сферу радиуса . При имеем . Петляющий характер кривой сигналов для промежуточных значений отражает неортогональность сигналов, указанную на фиг. 8.33.

на самом деле являлась мерой удовлетворенности потребителя, то с технической точки зрения было бы разумно минимизировать при фиксированном значении варьируя Такая минимизация приводит, однако, к столь большим значениям Что они неприемлемы в большинстве применений (таких, как передача речи). Это означает, что предпочтительнее раздельно рассматривать

Обсуждение. В идеализированной ВИМ необходимое для подавления слабого шума увеличение коэффициента растяжения получается за счет того, что геометрическое изображение сигналов петляет примерно на -мерной сфере фиксированного радиуса Образующуюся кривую грубо можно представить себе так, как изображено на фиг. 8.38: сигнальная кривая довольно свободно намотана на сферу, причем «витки» петляют от одной ортогональной оси к другой, не приближаясь друг к другу. Благодаря этому вероятность аномалии можно оценить, если рассматривать только ортогональных точек на этой кривой.

Неверно, конечно, что таким образом можно аппроксимировать для произвольной кривой сигналов. В действительности эта аппроксимация не является справедливой даже для ВИМ, если форма передаваемых сигналов выбрана недостаточно разумно. В качестве примера рассмотрим время-импульсную модуляцию произвольного импульса единичной энергии; при этом

Характеристики качества передачи при слабом шуме снова определяются растяжением

где штрих означает дифференцирование по аргументу. Если преобразование Фурье функции то преобразование Фурье функции . Из теоремы Парсеваля следует, что

где использовано обозначение

Множитель 3 в равенстве (8.101в) нормирует эту величину так, что если является нормированной прямоугольной передаточной функцией . Среднеквадратическая ошибка в отсутствие аномалий выражается через следующим образом:

Это означает, что при слабом шуме характеристики двух различных ВИМ-систем с равными являются эквивалентными.

Для того чтобы убедиться, что эта эквивалентность не распространяется на вероятность аномалии, нужно рассмотреть лишь случай, в котором имеет вид

Можно проверить, что так что

Поэтому если выбрать равным то при слабом шуме среднеквадратическая ошибка, связанная с будет равна ошибке при модуляции сигнала по времени, представляющего собой импульсный отклик идеального нормированного прямоугольного фильтра с шириной полосы Это справедливо независимо от длительности сигнала

Вместе с тем вероятность аномалии при использовании критически зависит от значения это поясняется на фиг. 8.39, где изображен выходной сигнал фильтра, согласованного с когда А велико по срапнениго с этот выход, который совпадает с корреляционной функцией сигнала имеет большое число локальных максимумов с медленно уменьшающейся амплитудой. Очевидно, что эти локальные максимумы приводят к необычайно высокой вероятности аномалии в присутствии шума. Более того, если попытаться снизить выбором то число локальных максимумов и, следовательно, даже увеличатся.

Оценка выполненная по числу существенно ортогональных положений импульса на выходе согласованного фильтра приемника, является справедливой тогда и только тогда, когда корреляционная функция сигнала относительно «компактна», как показано на фиг. 8.40. Эквивалентное геометрическое требование состоит в чтобы сигнальная кривая не имела близко расположенных друг к другу витков. Эти условия должны быть удовлетворены, если избежать неоправданной чувствительности к аномалии.

Фиг. 8.39. (см. скан) Сигнал, корреляционная функция которого чувствительна к аномалиям.

Фиг. 8.40. (см. скан) Корреляционная функция сигнала, для которого вероятность аномалии можно оценить с помощью соотношения (8.98).

ВИМ с противоположными сигналами. Если использовать совокупность противоположных сигналов

то можно увеличить растяжение, не изменяя эффективной размерности пространства, занимаемого ВИМ-сигналами, и не нарушая требования свободной намотки витков. Разделение диапазона на две части увеличивает растяжение в 2 раза, что снижает в раза. Для с противоположными сигналами имеем

где

опять является эффективной размерностью пространства сигналов.

Фиг. 8.41. ВИМ-приемник максимального правдоподобия для противоположных сигналов. (Предполагается, что согласованный фильтр имеет нулевую задержку.)

Результат воздействия ВИМ с противоположными сигналами на вероятность аномалии становится очевидным из рассмотрения структуры приемника максимального правдоподобия. Как показано на фиг. 8.41, такой приемник сначала определяет внутри интервала момент для которого абсолютное значение выхода согласованного фильтра является наибольшим, и затем принимает решение

в соответствии с тем, положительным или отрицательным является выход фильтра в момент

Рассуждения, которые ранее привели к оценке вероятности аномалии через вероятность ошибки при дискретных ортогональных сигналах, остаются еще в силе. Однако теперь, как следует из фиг. 8.41, эти же рассуждения приводят к оценке через вероятность ошибки при равновероятных биортогоналъных сигналах, энергия каждого из которых равна Из соотношении (4.112) и (2.121) для ВИМ с противоположными сигналами получаем

Отметим, что из (8.105а) и (8.105в) следует, что ВИМ с противоположными сигналами и эффзкгивной размерностью эквивалентна как по так и по обычной ВИМ с эффективной размерностью 20.

Хотя при слабом шуме характеристики качества передачи для ВИМ с противоположными сигналами на дб превосходят характеристики, которые соответствуют обычной ВИМ для того же самого значения на практике не легко достичь такого увеличения. Это объясняется тем, что реальные системы используют не низкочастотные, а полосовые сигналы. Обычная техника

состоит в использовании ДАМ-ПН для того, чтобы гетеродинировать низкочастотный сигнал к высокой частоте и обратно. В случае ВИМ с противоположными сигналами требуется точное знание принятой фазы, тогда как обычная ВИМ не очень чувствительна к фазе высокой частоты. В действительности обычный ВИМ-приемник может состоять из полосового согласованного фильтра и следующего за ним детектора огибающей, и при этом не будет существенного ухудшения характеристик передачи, если .

Передача функций с помощью ВИМ. Рассмотрим теперь эффективность ВИМ при передаче идеально ограниченного по полосе низкочастотного случайного процесса

с шириной полосы Предположим для удобства, что процесс нормирован таким образом, что при всех .

При использовании ВИМ последовательно передаются и оцениваются приемником (максимального правдоподобия) все значения . При этом приемник воссоздает

При отсутствии аномалии имеем

где статистически независимые гауссовские случайные величины с нуле выми средними значениями и дисперсиями задаваемыми соотношением (8.95б). Из (8.50) следует

где

— стационарный гауссовский процесс со спектральной плотностью мощности

Поэтому средняя мощность аддитивного шума при обычной ВИМ и слабом шуме равна

Используя соотношение (8.95б), получаем

тогда как при линейной модуляции было найдено, что Увеличение эффективной размерности приводит к подавлению слабого шума без увеличения передаваемой пиковой энергии выборки.

Величина в (8.110) связана с шириной полосы передаваемого сигнала и шириной полосы модулирующего сигнала время, используемое для передачи каждой из величин равно интервалу между отсчетами Поэтому максимально допустимая девиация положения импульса в каждой

посылке ограничена неравенством

Если, как показано на фиг. 8.42, с обеих сторон каждого интервала отсчетов имеются интервалы длительности сек, для того чтобы не было перекрытий с импульсами соседних интервалов, то

или

Отсюда видно, что эффективная размерность связана с коэффициентом расширения полосы соотношением

Если ВИМ используется вместе с то определяется как половина ширины ВЧ-полосы.

Как уже было отмечено, с помощью ВИМ с противоположными сигналами при фиксированном коэффициенте расширения полосы можно достичь таких характеристик качества передачи, которые получаются при обычной ВИМ, только когда эффективная размерность равна Результирующее увеличение эффективности использования спектра канала может быть желательным при если допустимая ширина полосы ограничена и известна ВЧ-фаза. Может даже возникнуть потребность совместить квадратурное уплотнение ДАМ-ПН с использованием передачи с противоположными сигналами; в этом случае нужно передавать

Такая квадратурная система с противоположными сигналами повышает эффективную размерность обычной ВИМ в 4 раза, не увеличивая при этом ширины ВЧ-полосы при передаче. Значения задаются равенствами (8.95б) и (8.98), в которых

ИМПУЛЬСНАЯ ЧАСТОТНАЯ МОДУЛЯЦИЯ

Вторым примером нелинейной модуляционной схемы, предназначенной для передачи одного параметра на входе, является импульсная частотная модуляция (ИЧМ). При обычной ИЧМ передаваемый сигнал представляет собой синусоидальный импульс длины , частота которого определяется передаваемым сообщением на входе. Пусть

(кликните для просмотра скана)

где

Множитель нормирует так, чтобы передаваемая энергия равнялась по существу когда (этот случай представляет интерес для дальнейшего). Предположим, что случайная величина принимает значения из интервала представляет собой эквивалент идеализированной в частотной области. Эта эквивалентность становится очевидной при сравнении фиг. 8.43 и фиг. 8.27. Отсюда следует, что коэффициент растяжения для ИЧМ равен

что можно легко проверить используя равенства (8.79а) и (8.114) Поэтому при отсутствии аномалии среднеквадратическая ошибка приема по методу максимума правдоподобия вновь равняется

где эффективная размерность множества сигналов

Оценка для вероятности аномалии имеет вид

Так же как и в случае идеализированной тот факт, что форма спектра передаваемого импульса имеет вид приводит к некоторой ошибке в этой оценке Однако эта ошибка может быть существенно уменьшена при использовании импульсов с подходящей формой огибающей.

При применении ИЧМ для передачи ограниченного по полосе процесса. для каждой посылки можно отвести лишь время

что приводит к

Поэтому, когда включает бесконечную последовательность отсчетов, среднеквадратическое значение шума на выходе приемника максимального правдоподобия в отсутствие аномалий равпо

Ширина полосы модулирующего сообщения и передаваемая ширина полосы связаны с эффективной размерностью ИЧМ точно так же, как при

Фиг. 8.44. Защитные частотные интервалы для Полуширина ВЧ-полосы, занимаемой сигналом, приближенно равна W.

ВИМ. Нули функции задающей спектр каждого из импульсов при расположены на расстоянии гц друг от друга. Если, как показано на фиг. 8.44, установить защитный частотный интервал ширины с каждой стороны частотного интервала то полуширина полосы, требуемой для передачи, будет равна

Таким образом, коэффициент расширения полосы снова равняется .

Основное различие между ИЧМ и ВИМ проявляется в трудностях практического построения приемника максимального правдоподобия. Частотным эквивалентом ВИМ-приемника, изображенного на фиг. 8.28, является устройство, которое производит косинус-преобразование Фурье существенной части принимаемого сигнала на интервале времени определяет частоту в интервале для которой преобразование Фурье максимально, и принимает решение

Ясно, что такое устройство построить труднее, чем ВИМ-приемник. Приемник, близкий к ИЧМ-приемнику максимального правдоподобия, может быть, конечно, построен так, как показано на фиг.

Эквивалентность ИЧМ и включающая и проблему определения фазы, распространяется также на возможность использования противоположных ИЧМ-сигналов: результирующие характеристики качества передачи эквивалентны характеристикам обычной ИЧМ с удвоенной эффективной размерностью. Более того, квадратурное уплотнение может быть использовано для того, чтобы снять удвоение эффективной размерности опять-таки без увеличения передаваемой ширины полосы.

Когда используется для модуляции как фазы, так и частоты высокочастотной несущей, получится схема модуляции, тесно связанная с ИЧМ с противоположными сигналами:

Коэффициент растяжения (при пренебрежении членами с удвоенной частотой) равен

так что равном как и ранее,

В случае сигналов вида (8.121) ортогональность сигналов будет иметь место тогда, когда увеличивается на так что значений в интервале приводят к взаимно ортогональным сигналам. Таким образом, опять получаем

Если используется прием по методу максимума правдоподобия, то как так и эквивалентны аналогичным характеристикам, получаемым при ИЧМ с противоположными сигналами.

Когда для передачи модулирующего процесса применяется последовательность сигналов, каждый из которых имеет вид (8.121), конечная фаза каждой посылки в последовательности может быть выбрана в качестве начальной фазы последующей посылки. Частотная модуляция к рассмотрению которой мы переходим, является схемой, родственной этой. В частности, непрерывность фазы ЧМ-сигналов дает возможность ЧМ-приемникам бороться с медленными уходами фазы.