ЗАДАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА

Говорят, что случайный процесс задан, если и только если указано правило для определения плотности совместного распределения вероятностей для любого конечного набора моментов наблюдения

(кликните для просмотра скана)

Практически встречаются три способа задания случайного процесса. Первый и простейший из них — указать это правило явно. Для того чтобы это было практически возможно, необходимо, чтобы плотность совместного распределения вероятностей зависела от моментов времени некоторым известным элементарным способом. Важным примером этого способа является задание гауссовских процессов, которые будут подробно изучены после рассмотрения профильтрованного импульсного шума.

При втором способе задается функция от времени, содержащая один или несколько параметров, например

Затем в качестве параметров берутся случайные величины с известной плотностью совместного распределения вероятностей Выборочными функциями случайного процесса являются тогда функции

а пространством элементарных событий — пространство, на котором определены При этом любую плотность распределения вероятностей можно вычислить, зная хотя это вычисление может быть трудным и громоздким.

Один из возможных примеров установления соответствия меледу сигнат лами и элементарными событиями для случайного процесса, заданного в (3.5), иллюстрируется фиг. 3.4. Здесь в качестве выбирается двумерная плоскость, а числа задаются как полярные координаты точки на плоскости. Примером плотности совместного распределения вероятностей этих величин является плотность

Третий способ задания случайного процесса состоит в том, что ансамбль его выборочных функций порождается применением некоторой операции к выборочным функциям уже заданного случайного процесса. Тривиальным примером является задание нового процесса, например , в виде сдвига по времени первоначального процесса

В этом случае любая плотность распределения вероятностей для нового процесса может быть сразу же записана через соответствующую (известную) плотность распределения вероятностей первоначального процесса; для любого элементарного события случайный вектор

равен случайному вектору где

Таким образом,

и

Более интересным примером применения третьего способа, с которым мы будем еще часто встречаться, является линейная фильтрация. Новый

случайный процесс может быть получен в результате прохождения выборочных функций заданного процесса через линейный фильтр с импульсным откликом Выборочные функции этих двух случайных процессов связаны при этом интегралом свертки:

или в сокращенной записи

Вообще говоря, определить плотности распределения вероятност/ей процесса по плотностям распределений вероятностей процесса трудно, хотя, как мы увидим, это делается просто, если гауссовский процесс.