7.2. ПОЛОСОВЫЕ КАНАЛЫ

Здесь мы рассмотрим важный частный тип изображенного на фиг. 7.1 канала с фильтрацией сигнала, а именно полосовой канал, показанный на фиг. 7.8. Фильтр является идеальным фильтром с ограниченной полосой пропускания, имеющей ширину и центральную частоту . Передаточная функция этого фильтра

для всех остальных

Так как рассматриваемый канал является частным случаем общего канала с фильтрацией, то остаются справедливыми приведенные выше соображения о выборе оптимального приемника и его реализации, показанной на фиг. 7.2. В инженерной практике обычно генерируют совокупность сигналов на передатчике вначале как низкочастотные сигналы (сигналы основной полосы) и затем сдвигают их по частоте (гетеродинирование) вплоть до полосы пропускания Приемник гетеродинирует сигналы, сдвигая их по частоте в обратном направлении из полосы пропускания в основную полосу, и принимает решение о переданном сообщении на основе результирующего низкочастотного сигнала. Эта техника используется даже тогда, когда шум в канале не является белым.

ДВУХПОЛОСНАЯ АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ С ПОДАВЛЕННОЙ НЕСУЩЕЙ (ДАМ-ПН)

Одна из возможных систем такого типа изображена на фиг. 7.9. Сдвиг по частоте на передатчике называется двухполоской амплитудной модуляцией с подавленной несущей а на приемнике — синхронной демодуляцией. Мы рассмотрим полосовые каналы, аналогичные каналу, изображенному на фиг. 7.8, если не считать того, что теперь тпум будет не белый. Идеальный низкочастотный фильтр модулятора

вводится на фиг. 7.9 как явное указание на то, что для для всех где через обозначено преобразование Фурье сигнала

Причина введения термина «двухполосная модуляция с подавленной несущей» может быть пояснена с помощью фиг. 7.10. Так как перемножение двух функций во временной области соответствует свертке их спектров в частотной области, то спектр Фурье любого переданного сигнала содержит две боковые полосы, расположенные симметрично относительно следовательно, занимает полосу шириной вдвое больше, чем спектр «игнала Гармоника называется несущей, тот факт, что не содержит дискретной компоненты Фурье на частоте отражен в названии модуляции словами «с подавленной несущей».

Прежде всего следует отметить, что при отсутствии шума низкочастотные сигналы восстанавливаются на выходе демодулятора для системы изображенной на фиг. 7,9, без каких-либо изменений. (Мы предполагаем во всем этом разделе, что на приемнике точно известна фаза несущей. Случай случайной фазы рассмотрен в разд, 7.3.) В самом деле, вновь выполняемое при приеме умножение на и низкочастотная фильтрация с передаточной функцией полностью исключают модуляцию, проведенную передатчиком. Используя индекс для обозначения низкочастотной компоненты соответствующего выражения, имеем

Нормирующий множитель делает энергию равной энергии Действительно, на основании фиг. 7.10 и теоремы Парсеваля

Причина, по которой на фиг. 7.10 было введено ограничение поясняется фиг. 7.11, а. Если то спектральные компоненты перекрываются в области вблизи нельзя точно восстановить по с помощью демодуляции ДАМ-ПН. Возникающие в этом случае искажения называются «перехлестыванием» . В инженерной практике мы имеем дело с реальными низкочастотными, а не с идеальными сигналами, которые, конечно, нереализуемые Перехлестывание становится проблемой в том случае, когда хвосты спектра и частота связаны таким образом, что возникает существенное перекрытие спектров (фиг. 7.11,б).

Остается определить условия, при которых операции модуляции и демодуляции, помимо того что они удобны с технической точки зрения, не повышают

(кликните для просмотра скана)

вероятность ошибки, которую можно достичь при наличии стационарного гауссовского шума (который может быть как белым, так и небелым). Вывод этих условий несколько сложен, но его можно разбить на последовательные, относительно простые этапы, каждый из которых дает важные сведения о существе проблемы.

Устранение шума, лежащего вне полосы частот. Сначала покажем, что фильтр можно применить к выходу канала (как показано на фиг. 7.12) без потери оптимальности. Доказательство основано на том, что шум лежащий вне полосы пропускания фильтра является несущественным и, следовательно, может быть устранен. Чтобы показать это, заметим, что вне полосы пропускания нет энергии сигнала, и сделаем обычное предположение о том, что шумовой процесс и процесс который задает сигнал, статистически независимы. Далее напомним, что, как следует из равенства (3.130), в результате прохождения гауссовского шумового процесса через два линейных фильтра с непересекающимися полосами пропускания возникают два совместно гауссовских процесса, которые статистически независимы. Таким образом, не содержит сигнала и статистически не зависит от аддитивного шума в Это доказывает, что процесс является несущественным.

Полосовая фильтрация с помощью низкочастотных фильтров. На втором этапе установления оптимальности системы ДАМ-ПН покажем, что полосовой фильтр можно построить при помощи параллельного соединения каскадов синусоидальных и косинусоидальных демодуляторов и модуляторов, как показано на фиг. 7.13. Обозначим через отклик этого комплекса из демодуляторов и модуляторов на импульс поступающий в момент и через импульсный отклик низкочастотного фильтра Из фиг. 7.13 непосредственно следует, что

Кроме того, так как является сверткой то импульсный отклик фильтра является произведением и обратного преобразования Фурье от функции Поэтому откликом фильтра на задержанный импульс будет и этот отклик совпадает с откликом комплекса из демодуляторов и модуляторов, изображенного на фиг. 7.13. Таким образом, мы получаем, что комплекс из демодуляторов и модуляторов эквивалентен фильтру с постоянными по времени параметрами как сам фильтр, так и этот комплекс дают одинаковые сигналы на выходах при подаче на их входы идентичных воздействий.

Объединяя результаты первых двух этапов нашего рассмотрения, видим, что каскадный приемник, изображенный на фиг. 7.14, а, не приводит к потере оптимальности: комплекс из демодулятора и модулятора эквивалентен полосовому фильтру показанному на фиг. 7.12, и действие комплекса сводится лить к устранению несущественного шума, лежащего вне полосы сигнала.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Так как знание выхода блока модуляции и суммирования на фиг. 7.14, а является достаточным для принятия оптимального решения относительно то достаточным является и знание входов двух модуляторов. Это значит, что мы можем опустить блок модуляции и суммирования и построить оптимальный приемник, который работает непосредственно с низкочастотными сигналами как показано на фиг. 7.14, б.

Демодулированный шум. Приемпик на фиг. 7,14, б, если не считать синусоидального демодулятора, совпадает по виду с соответствующими блоками на фиг. 7.9. Более того, основываясь на этих схемах, можно заметить, что

для всех так что не содержит никаких составляющих сигнала. Поэтому при

На третьем этапе установления оптимальности нашего приемника для выясним условия, при которых шум несуществен и может быть устранен. В силу того что являются результатами линейной (правда, зависящей от времени) операции, выполненной над стационарным гауссовским процессом они являются гауссовскими в совокупности. Мы предполагаем, что следовательно, имеют нулевые средние значения. Отсюда следует, что процесс статистически не зависит от и может быть устранен тогда и только тогда, когда совместная корреляционная функция

равна нулю для всех моментов наблюдения и

Определим теперь совместную корреляционную функцию а также корреляпионные функции

Используя фиг. 7.14,б, находим

где импульсный отклик идеального низкочастотного фильтра Для упрощения вычислений введем следующее обозначение:

Отсюда

Теперь имеем

Подстановка

и разделение интегралов дают

Положив , получаем

Аналогично

Теперь имеем

где произведена замена переменных Аналогичный вывод приводит к результату

Тождество в этом соотношении следует из того, что при всех для любого

Используя равенство совместно с (7.21а) и (7.216), получим

Фиг. 7.15. Определение по .

Приравняем действительные и мнимые части обоих равенств и (7.22); принимая во внимание определения находим

Окончательно, записывая спектр как сумму его четной и нечетной частей (пусть это будут соответственно), приходим к важным результатам:

где, как и ранее, . Соотношения проиллюстрированы на фиг. 7.15.

Обсуждая значение равенств важно отметить, что для их вывода не требуется, чтобы процесс был гауссовским, нужно лишь чтобы он был стационарным в широком смысле. Уже из этого следует, что оба демодулированных процесса также являются стационарными в широком смысле и что каждый из них имеет спектральную плотность Следует отметить, что это справедливо, несмотря на то что рассматриваемые процессы образуются из с помощью операции, зависящей от времени. Отметим, что выборки, взятые из обоих низкочастотных процессов в один и тот же момент времени (это означает, что всегда некоррелированны:

Эти выборки некоррелированны во все моменты наблюдения тогда и только тогда, когда четная функция в полосе

Оптимальные приемники. Если шум является гауссовским стационарным процессом, то из некоррелированности для всех пар моментов наблюдения следует их независимость. Таким образом, шум не является существенным всегда, когда четная функция в полосе При этом условии можно отбросить синусоидальный демодулятор на фиг. 7.14, б, не увеличив минимально возможной вероятности ошибки. В частности, это условие имеет место, если белый гауссовский шум. В этом случае (а именно, он будет теперь рассматриваться)

Поэтому

и

Четвертый и последний этап в получении оптимального приемника для ДАМ-ПН в случае белого гауссовского шума состоит в построении оптимального решения относительно переданного сигнала на основе остающегося сигнала, лежащего в основной полосе,

Эта задача уже была решена в гл. 4. Если бы сигналы передавались прямо по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом, то оптимальный приемник должен был бы вычислять корреляцию между принятым сигналом и каждым из сигналов совокупности Единственное отличие, вытекающее из равенств (7.256) и состоит в том, что с таким каналом последовательно связан низкочастотный фильтр Очевидно, что такой фильтр не влияет на оптимальность приемника, рассмотренного в гл. 4, так как он не вносит изменений в передаваемый сигнал, а шум вне полосы пропускания фильтра не является существенным. Отсюда следует, что приемник для изображенный на фиг. 7.16, является оптимальным и что характеристики этой системы в целом совпадают с теми, которые были бы получены, если бы низкочастотные сигналы использовались без модуляции в канале с белым гауссовским шумом, имеющим ту же самую спектральную плотность мощности, Следует отметить, что можно опустить низкочастотный фильтр в демодуляторе приемника, так как корреляция может быть осуществлена с помощью согласованной фильтрации и поскольку каждый согласованный фильтр сам по себе является низкочастотным фильтром.

Если функция четная, но отличная от постоянной в полосе то приемник, близкий к оптимальному низкочастотному приемнику, может быть построен с помощью пропускания через обратимый фильтр, который «обеляет» в основной полосе.

Разложение сигнала с ограниченным спектром. Эквивалентность комплекса из демодуляторов и модуляторов, показанного на фиг. 7.13, полосовому фильтру влечет за собой и другие интересные следствия. Самым прямым из них является то, что любой сигнал с равной шириной

Фиг. 7.16. Полная система ДАМ-ПН для белого гауссовского шума.

полосы спектра, получаемого преобразованием Фурье, может быть записан при помощи двух пизкочастотных сигналов, каждый из которых имеет ширину полосы

Используемые здесь обозначения те же, что и на фиг. 7.17а, но заменено на Таким образом, использование двух модуляторов для (одного с косинусоидальной, а другого с синусоидальной несущими) позволяет генерировать сигналы с ограниченным спектром самого общего типа. Такое замечание применимо в равной мере и к стационарному (в широком смысле) полосовому шуму выборочные функции которого имеют бесконечную энергию и, следовательно, не могут иметь преобразования Фурье, На основании фиг. 7.17а снова, положив сразу получаем

Поэтому произвольный шум с шириной полосы может быть разложен на два низкочастотных шумовых процесса каждый из которых имеет ширину полосы спектра

Равенство можно интерпретировать графически, как показано на фиг. 7.17б. Можно представить себе как быстро вращающийся вектор, амплитуда которого меняется медленно по сравнению со скоростью вращения. Член другой такой же вращающийся вектор, сдвинутый на 90° по фазе по отношению к первому вектору. Функция будет проекцией векторной суммы этих двух векторов на горизонтальную ось.

Для гауссовского канала с ограниченным спектром, изображенного на фиг. 7.16, оба низкочастотных шума статистически независимы. Если на передатчике используются как синусоидальный, так и косинусоидальный модуляторы, то в соответствии с через полосовой фильтр можно одновременно передавать два сигнала, выбор каждого из которых определяется различными статистически независимыми воздействиями на входе передатчика. этом случае оптимальный приемник можно реализовать, используя сразу как синусоидальный, так и косинусоидальный

(кликните для просмотра скана)

демодуляторы, после каждого из которых следуют приемники сигнала основной полосы, принимающие решения независимо один от другого. Так как синусоидальная и косинусоидальная несущие представляются на векторной диаграмме в виде перпендикулярных вращающихся векторов, то этот метод называется квадратурным уплотнением.

ОДНОПОЛОСНАЯ АМПЛИТУДНАЯ МОДУЛЯЦИЯ (ОАМ)

Другим способом перенесения спектра основной полосы в полосу пропускания является амплитудная модуляиия с использованием одной боковой полосы частот (фиг. 7.18). Вначале низкочастотный сигнал умножается на что дает уже знакомый нам двухполосный спектр частот, симметричный относительно . В силу такой симметрии, очевидно, нет необходимости иметь обе боковые полосы для того, чтобы восстановить исходный сигнал . В соответствии с этим в системе одна из указанных боковых частот устраняется до передачи, например, с помощью фильтра с крутым спадом, идеализапией которого в аналитических выкладках будет служить фильтр показанный на фиг. 7.18. Передаваемый сигнал а занимает теперь полосу ширины а не ширины как это было при ДАМ-ПН.

Демодулятор ОАМ изображен на фиг. 7.19, а преобразования спектра, производимые модулятором и демодулятором показаны на фиг. 7.20. Ясно, что при отсутствии шума низкочастотный в смысле его преобразования Фурье сигнал пройдя через последовательно соединенные модулятор и демодулятор точно восстанавливается на выходе. Обратно, любой полосовой в смысле его преобразования Фурье сигнал будучи подан вначале на демодулятор а затем на модулятор как показано на фиг. 7.21, также оказывается точно восстановленным.

Нормирующий множитель 2, на который умножается на фиг. 7.18, выбран так, чтобы энергия передаваемого сигнала снова равнялась энергии Выполнение этого равенства очевидно из фиг. 7.20.

Так же как в случае использование на передатчике модулятора и на приемнике демодулятора не приводит к потере оптимальности при наличии аддитивного белого гауссовского шума. Доказательство этого положения полностью аналогично доказательству для случая Обозначения, используемые в рассуждении, которое следует ниже, указаны на блок-схеме системы, изображенной на фиг. 7.22.

На первом этапе доказательства заметим, что сигнал проходя через фильтр не искажается и что шум в не входящий в полосу пропускания фильтра не зависит от шума внутри этой полосы, и поэтому он не существен. Таким образом, включение фильтра на приемнике (фиг. 7.22) не приводит к потере оптимальности.

На втором этапе заметим, что последовательно соединенные демодулятор и модулятор рассмотренные ранее на фиг. 7.21, эквивалентны одному фильтру Это непосредственно следует из того, что отклик фильтра на импульс, поступающий в какой-либо момент является сигналом с ограниченной полосой, который проходит через каскад демодулятора и модулятора на схеме фиг. 7.21 без изменений. Таким образом, в целом демодулятор выполняет обратимую операцию над существенной компонентой принимаемого сигнала (фиг. 7.22). В соответствии с этим можно вновь иметь дело непосредственно с сигналом основной полосы без потери оптимальности.

(Прямым следствием этого является то, что мы получили второе представление полосового шума. Процесс с шириной полосы полностью задает низкочастотный процесс и сам полностью задается этим процессом, также имеющим ширину полосы . В противоположность этому в случае ДАМ-ПН мы представляли полосовой шум с шириной полосы при

(кликните для просмотра скана)

Фиг. 7.23. Определение четной и нечетной компонент в полосе См. также фиг. 7.15.

помощи пары низкочастотных процессов, каждый из которых имел ширину полосы, равную

Третий этап в доказательстве того, что в случае пет потери оптимальности, требует знания спектральной плотности процесса которая может быть определена прямо из равенства (7,256) (фиг. 7,23). Если бы нормирующий множитель для в демодуляторе был бы равен , то мы имели бы спектральную плотность шума на выходе, равную в полосе Так как в действительности этот множитель ранен 2, то, умножая на получим

Заключительный этап связан с оптимальным приемом низкочастотных сигналов при наличии аддитивного гауссовского шума Шум является равномерным со спектральной плотностью в полосе, занимаемой сигналами. Это значит, что приемник, изображенный на фиг. 7.22, действительно является оптимальным и что использование никоим образом не влияет на наилучшую возможную точность передачи. Важно отметить, что предварительный фильтр является существенным в случае и не существен в случае Это объясняется тем, что фильтр не позволяет шуму, лежащему в полосе воздействовать на выход демодулятора

СРАВНЕНИЕ ДАМ-ПН и ОАМ

Проведенный анализ показал, что с точки зрения идеализированных математических моделей не существует различия между наилучшими возможными характеристиками передачи при помощи и выбор того или иного способа определяется большим числом инженерных соображений Так, например, при любом заданном множестве низкочастотных модулирующих сигналов с шириной полосы требует половины

полосы, необходимой для ДАМ-ПН, что позволяет использовать частотное уплотнение и облегчает решение проблемы распределения частот при большой загрузке спектра. Использование квадратурного уплотнения при ДАМ-ПН может уравновесить эти преимущества, однако отклонение полосового канала от нашей идеализированной модели может привести к более высокому уровню перекрестных разговоров (межканальной интерференции) в случае квадратурного уплотнения по сравнению со случаем частотного уплотнения. В частпости, перекрестные разговоры при квадратурном уплотнении возникают в каналах, искаженных линейным фильтром с постоянными по времени параметрами, всякий раз, когда для всех тогда как перекрестные разговоры при идеальном частотном уплотнении вносятся линейным фильтром только, если его параметры не постоянны по времени. Одно из преимуществ ДАМ-ПН по сравнению с ОАМ состоит в том, что для ОАМ труднее генерировать мощные сигналы.