7.5. КОДИРОВАНИЕ ДЛЯ КАНАЛОВ С ЗАМИРАНИЯМИ

Несмотря на то что можно использовать разнесение для получения вероятности ошибки, экспоненциально убывающей с увеличением все же при этом можно достичь произвольно малой вероятности только неограниченно увеличивая . Так же как и в случае отсутствия замираний, когда превышает некоторый минимальный порог, можно получить сколь угодно малую без необходимого увеличения энергии, передаваемой на одну двоичную единицу, если использовать кодирование. Как и ранее, это утверждение также можно обосновать методом случайного кодирования.

ПРИЕМНИК БЕЗ КВАНТОВАНИЯ

Начнем с рассмотрения случая, когда на вход модулятора при передаче двух равновероятных сообщений по каналу с релеевскими замираниями подается одна из двух специальных низкочастотных последовательностей изображенных на фиг. 7.45. Каждая последовательность включает в себя посылок (или элементов) и каждый элемент образуется из сигналов (или букв), выбранных из алфавита, содержащего А ортогональных низкочастотных сигналов Предположим, что каждый из А элементарных сигналов имеет энергию Таким образом, могут быть представлены как совокупность А ортогональных векторов

Фиг. 7.45. (см. скан) Структура двух сигналов из нити элементов . а — сигналы; буквы.

Фиг. 7.46. Приемник для передачи разнесением и кодированием; Для сигналов изображенных на фиг. Возведенные в квадрат выборки огибающей из элементов с номерами 3 и 5 не влияют на решения приемника.

Будем предполагать также, что замирания, действующие на последовательные элементы, статически независимы и обладают равными дисперсиями Это значит, что приемник для последовательностей сигналов должен быть очень похож на приемник в системе с -кратным разнесением. Отличие состоит в том, что в случае -кратного разнесения нужно было бы передавать одну и ту же букву на интервале, отведенном для каждого элемента, тогда как теперь последовательные элементы, вообще говоря, составлены из различных букв. Приемник должен учитывать это отличие. Положив в равенствах (7.105) и не зависят от и получаем

где если элемент является буквой то

Оптимальный приемник можно выполнить как параллельное соединение согласованных фильтров (каждый из которых согласован с одной из А ортонормальных функций за которыми следуют детекторы огибающей, блоки, выполняющие операцию возведения в квадрат, стробирующие устройства и логические устройства. Такой приемник показан на . В конце передачи каждого элемента приемник производит выборки и запоминает выходы всех А блоков, выполняющих операцию возведения в квадрат. После передачи элементов приемник хранит в памяти выборок. Из них он составляет величины необходимые для вычисления обеих сумм в (7.141). (Структура каждого из сигналов предполагается известной.) Затем приемник определяет значение в соответствии с тем, какая из сумм оказывается наибольшей.

Для только что описанной системы связи с двумя сообщениями легко подсчитать вероятность ошибки. Предположим, что из элементов в

и совпадают, т. е. являются идентичными элементарными сигналами (буквами). (Для последовательностей на фиг. 7.45 k = 2.) Ясно, что совпадающих элементарных сигналов не вносят никакого вклада в возможность различения сообщений. Зато в каждой из остальных позиций сигналы ортогональны. Это следует из предположения, что ортогональны. Таким образом, вероятность ошибки в точности совпадает с вероятностью ошибки при передаче с разнесением, когда Из (7.136) следует

где

Рассмотрим далее ансамбль систем связи с двумя сообщениями, в котором каждая из возможных последовательностей сигналов появляется с равной вероятностью. Всего имеется различных последовательностей сигналов, или кодовых слов, которые можно построить при наличии А букв и элементов. Таким образом, вероятность подмножества систем, в которых используются кодовые слова, совпадающие в к позициях, равна

Поэтому для средней по ансамблю вероятности ошибки имеем

Как и обычно, последний этап в рассуждениях, основанных на методе случайного кодирования, состоит в обобщении полученных результатов на случай сообщений. Вновь рассмотрим ансамбль систем связи, в котором каждый отдельный код состоит из кодовых слов, выбираемых с равными вероятностями из множества возможных кодовых слов г). Как и в гл. 5, можно использовать аддитивную границу

эту оценку можно также записать в виде

где

Полезно записать (7.145а) в таком виде, в котором явно проявляется зависимость от числа К одновременно кодируемых двоичных сообщений

и средней принимаемой энергии отнесенной к одному двоичному сообщению. Пусть

означает число элементов (кратность разнесения) на одно двоичное сообщение [как и в (7.137)]:

При этом снова будем иметь

и

В этих обозначениях неравенство (7.145а) принимает вид

где

При любом значении функция монотонно увеличивается с ростом А. (Вероятность того, что любые два кодовых слова совпадают в позициях, уменьшается с увеличением объема алфавита А.) Более того, если то функция стремится к функции изображенной на фиг. 7.44. Таким образом, в случае если А может быть сделано произвольно большим, оптимальный выбор является таким, при котором дб. Наконец, простые вычисления показывают, что при таком выборе любое значение А 18 приводит к показателю экспоненты, составляющему по крайней мере 0,935 от показателя экспоненты, соответствующего Таким образом, для имеем

Всегда, когда отношение средней принимаемой энергии к шуму, отнесенное к одному двоичному сообщению, больше, чем примерно 7 дб, вероятность ошибки экспоненциально убывает с ростом длины кодовых ограничений К. Более того, это можно получить, используя совокупность элементарных сигналов состоящую всего лишь из 18 ортогональных функций. Если свести (два ортогональных сигнала), оптимальное значение изменится лишь незначительно и приближенно будет равно 2,7. Это скажется в (7.148) в том, что отношение должно теперь быть чуть большим 10 дб для того, чтобы граница сходилась к нулю при увеличении К.

Так же как и в случае гауссовского канала, простое доказательство, использующее аддитивную границу, которое было применено при выводе (7.149), для всех значений не приводит к наиболее точной из возможных границ. В действительности, используя более тонкую аналитическую технику, можно показать [49], что пропускная способность канала с релеевскими замираниями и бесконечной шириной полосы частот совпадает с пропускной способностью гауссовского канала с бесконечной шириной полосы частот и тем же самым отношением средней энергии к шуму. Граница (7.149) тем не менее является экспоненциально точной для значений несколько

больших 7 дб. Кроме того, минимальное значение выше которого среднее количество вычислений, выполняемых в процедуре последовательного декодирования, описанной в гл. 6, сходится, также равно примерно 7 дб.