3.5. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И СПЕКТРАЛЬНАЯ МОЩНОСТЬ

Мы видели, что случайный процесс на выходе линейного фильтра является гауссовским, если на вход подается гауссовский процесс. Поскольку любой гауссовский процесс полностью определяется своими средними значениями и корреляционными функциями, то воздействие линейного фильтра на гауссовский вход полностью определяется воздействием линейного фильтра на средние значения и корреляционные функции этого процесса. Сейчас мы посмотрим, как вычисляются эти функции; результаты, которые будут получены, справедливы независимо от того, является ли входной процесс гауссовским.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОЖИДАНИЕ ИНТЕГРАЛА

На фиг. 3.21 показан линейный фильтр на вход которого подается произвольный случайный процесс Выборочные функции случайного процесса на выходе фильтра связаны с выборочными функциями процесса интегралом свертки:

В соответствии с равенством функция средних процесса

Фиг. 3.21. Случайный процесс с выборочными функциям» получается после прохождения случайного процесса через линейный фильтр

Выражение (3.104) значительно упрощается, если пространство элементарных событий состоит из конечного числа точек. Предположим, что состоит из к точек каждой из которых приписана вероятность Тогда

Меняя порядок суммирования и интегрирования в последнем выражении, получаем

При тех же условиях корреляционная функция процесса может быть получена аналогичным методом:

Снова меняя порядок суммирования конечного числа слагаемых и интегрирования, получаем

Перемена порядка интегрирования и перехода к математическому ожиданию в том случае, когда пространство элементарных событий бесконечно, требует дополнительного обоснования. Однако в обоих случаях такая перемена порядка возможна, и окончательные соотношения

остаются верными, если двойной интеграл в выражении (3.108) конечен при всех .

Ни в одном из этих равенств не предполагалось, что гауссовский процесс. Однако если и, следовательно, гауссовские процессы, то этими двумя интегралами полностью задается процесс