ПРИЛОЖЕНИЕ 5А. ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ СПЕКТРОМ

В этом приложении мы познакомимся с некоторыми следствиями двух теорем [53], одна из которых принадлежит Ландау и Поллаку, а другая — Шеннону. В этих теоремах рассматривается функция удовлетворяющая следующим условиям:

а) тождественно равна нулю при

б) энергия равна единице:

в) спектральная энергия вне полосы частот не превышает

Теоремы утверждают, что существует совокупность ортонормальных функций обладающая следующими свойствами. При функции тождественно равны нулю; для любой функции удовлетворяющей условиям а), б) и в),

где

Согласно теореме Ландау и Поллака,

По теореме Шеннона

5А.1. ОГРАНИЧЕНИЯ НА ЛИНЕЙНЫЕ КОМБИНАЦИИ

Допустим, что совокупность ортонормальных функций, таких, что любая линейная комбинация этих функций вида

обладающая единичной энергией, удовлетворяет условиям а), б) и в), причем (в частности, все тоже удовлетворяют этим условиям). Тогда, используя теорему Ландау и Поллака, можно показать, что число функций в совокупности удовлетворяет неравенствам

и, следовательно,

Доказательство проводится рассуждением от противного. Предположим, что Тогда существует линейная комбинация функций [10], ортогональная ко всем функциям Обозначим эту линейную комбинацию, пронормированную так, чтобы ее энергия была

равна единице, через Тогда

С другой стороны, согласно геореме Ландау и Поллака,

что противоречит и, следовательно, нашему предположению, что

ОГРАНИЧЕНИЯ НА ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИ

Теперь воспользуемся теоремой Шеннона для оценки числа ортонормальных функций отличных от нуля в интервале длины и удовлетворяющих ограничениям, несколько более слабым, чем те, которым удовлетворяли функции, рассмотренные в разд. Требование, заключающееся в том, чтобы каждая линейная комбинация обладала спектром, удовлетворяющим условию в), заменим требованием, чтобы лишь сами функции удовлетворяли этому условию. Таким образом, мы потребуем только, чтобы доля спектральной энергии функций вне полосы частот не превышала допуская, что для некоторых линейных комбинаций эта энергия могла бы быть больше. В этом случае получим следующую (более слабую) оценку:

и, следовательно,

Хотя оценки, даваемые неравенствами несколько превышают это превышение несущественно при больших и малых . При согласно

Докажем соотношение . Вначале заметим, что, согласно

где

Но левая часть неравенства равна

Подставляя в и суммируя пр , получим

или

Заметим далее, что, используя метод Грама — Шмидта, рассмотренный в приложении можно выразить через

где — та часть функции которая ортогональна ко всем функциям Поэтому

Подстановка в дает

или

Подставляя сюда значения из получим

5А.3. ОБСУЖДЕНИЕ

Таким образом, число ортонормальных функций, энергия которых сконцентрирована в полосе частот возрастает самое быстрое линейно с ростом Коэффициент пропорциональности в верхней оценке для этого числа линейно зависит от и равен если энергия всех линейных комбинаций ортонормальных функций сконцентрирована в полосе частот Коэффициент пропорциональности верхней оценки несколько больше если это условие концентрации энергии выполняется лишь для самих ортонормальных функций.