2.5. ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ

Рассмотрим некоторые из предельных теорем, составляющих основу теории вероятностей.

Дисперсия случайной величины является в некотором смысле мерой «случайности» величины Например, равенство (2.130в) означает, что дисперсия равномерно распределенной случайной величины равна где длина интервала, на котором плотность распределения отлична от нуля. Задание дисперсии по существу ограничивает эффективные размеры области, где плотность распределения отлична от нуля. Для гауссовской плотности распределения эта интерпретация иллюстрируется фиг. 2.40.

Точное утверждение относительно этих ограничений было получена Чебышевым. Пусть у — случайная величина с нулевым средним и дисперсией Неравенство Чебышева утверждает, что для любого положительного числа

Фиг. 2.40. Плотность гауссовского распределения вероятностей для двух различных значений дисперсии.

Доказательство этого утверждения состоит в следующем. По определению математического ожидания

Так как подынтегральная функция положительна, то

Эта граница далее может быть лишь ослаблена, если заменить его наименьшим значением

Деля обе части этого неравенства на и замечая, что для случайной величины с нулевым средним, получаем неравенство Чебышева.

ЗАКОН БОЛЬШИХ ЧИСЕЛ

Простейшие предельные теоремы, которые мы будем рассматривать, непосредственно следуют из неравенства Чебышева. Рассмотрим сумму одинаково распределенных статистически независимых случайных величин каждая из которых имеет математическое ожидание и дисперсию Введем новую случайную величину

В соответствии с равенствами (2.127) и (2.133) математическое ожидание и дисперсия величины соответственно равны

и

Для того чтобы воспользоваться неравенством Чебышева, положим

так что

и

Тогда

Это и есть нужный нам результат:

Соотношение (2.140) называется законом больших чисел.

Случайная величина называется выборочным средним значением. Неравенство (2.149) означает, что вероятность того, что выборочное среднее значение отличается от истинного среднего значения более чем на стремится к нулю, когда неограниченно возрастает.

Закон больших чисел является математическим обоснованием правомерности нашей прежней интерпретации или как величины, около которой устанавливается значение эмпирического среднего результатов независимых испытаний для некоторого эксперимента, когда неограниченно возрастает. При этом требуется только отождествить независимую случайную величину с результатом испытания, а выборочное среднее значение с эмпирическим средним Если велико, то утверждение закона больших чисел о том, что с большой вероятностью близко к величине реально интерпретируется как утверждение о том, что (за исключением нетипичных последовательностей наблюдений) величина будет близка к Вероятность наблюдения нетипичной последовательности испытаний (вероятность, соответствующая в математической модели событию отлична от нуля, но если значение мало, то такие последовательности появляются редко.

Интересный частный случай закона больших чисел возникает, если случайные величины задать следующим образом при помощи некоторых событий вероятности

При

и при любом

Подставляя эти значения в неравенство (2.149), получаем

Отождествим теперь событие с результатом, состоящим в том, что А наблюдается при исиытании в простом эксперименте. Случайная величина тогда соответствует относительной частоте для последовательности независимых испытаний, и неравенство (2.151) показывает, что это значение, около которого, как мы и ожидали, устанавливается относительная частота когда неограниченно возрастает. Соотношение (2.151) уже упоминалось как неравенство (2.19а) при обсуждении соотношения математической модели и реальности.