ПРИЛОЖЕНИЕ 4А. ОРТОНОРМАЛЬНЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ И ВЕКТОРНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ

Если по каналу с аддитивным белым гауссовским шумом передается один из сигналов векторный приемник, к которому сводится оптимальный приемник непрерывных колебаний, не зависит от конкретного вида базисных ортонормальных функций Важны лишь векторы Конкретный вид функций используемых для генерирования сигналов не влияет на правило решения и, следовательно, на вероятность ошибки. При создании систем связи, предназначенных для работы при наличии белого гауссовского шума, проблема состоит в выборе удобной с точки зрения условий распространения по каналу системы векторов и системы функций

Чтобы доказать, что блок-схемы передатчика, корреляционного приемника и приемника с согласованным фильтром, приведенные соответственно на фиг. 4.12, 4.18 и 4.19, являются совершенно общими, нужно показать, что любая система из сигналов с конечной энергией может быть представлена в виде

где соответствующим образом подобранная система ортонормальных функций:

В этом приложении мы докажем, что разложение имеет общий характер, и обсудим некоторые его применения.

Фиг. 4А.1. (см. скан) Векторы, полученные с помощью метода ортогонализации Грама-Шмидта: здесь можно представить в виде линейной комбинации так что .

Метод ортогонализации Грама — Шмидта. Одним из удобных способов получения соответствующей системы ортонормальных функций для любой заданной системы сигналов является метод ортогонализации Грама — Шмидта [43], последовательность этапов которого приведена ниже.

1. Начнем с . Если (энергия сигнала равна нулю), перенумеруем сигналы. Если же положим

где

Тогда колебание будет иметь единичную энергию. Так как коэффициент Соответствующий вектор показан на фиг. 4А.1, а.

2. Введем вспомогательную функцию

где

Если положим

где

Тогда также будет иметь единичную энергию и Кроме того,

что следует из равенств

Вектор показан на фиг. 4A.1, б в предположении, что Если же переходим к пункту 3.

3. шаг процедуры состоит в следующем. Предположим, что, используя мы определили ортонормальных функций Ясно, что так как каждый новый сигнал порождает не более одной ортонормальной функции. Рассмотрим теперь и введем вспомогательную функцию

где

Если положим

где

Ясно, что имеет единичную энергию . Кроме того,

что вытекает из следующих равенств:

Описанная выше процедура может быть продолжена до тех пор, пока не будут исчерпаны все сигналы (фиг. 4А.1, в, г). В результате будет найдено ортонормальных функций причем равенство будет иметь место тогда и только тогда, когда все сигналов линейно независимы, т. е. ни один из них не может быть представлен в виде линейной комбинации других. Целое число называется размерностью пространства сигналов, образованного сигналами . Ясно, что по самой природе рассмотренной процедуры каждая функция может быть представлена в виде линейной комбинации функций и, таким образом, равенство удовлетворяется.

Применение метода Грама-Шмидта можно проиллюстрировать на простом примере четырех сигналов, изображенных на фиг. 4А.2. Начав с получим

и

Затем, введя получим

Введя находим

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Наконец, введя получим

Таким образом, эти четыре сигнала расположены в двумерном пространстве и имеют следующие векторные представления:

показанные на фиг. 4А.3.

Мы показали, что конечное множество сигналов всегда можно представить по крайней мере одним способом посредством взвешенной суммы ортонормальных функции и, следовательно, что проведенный вывод структуры оптимальных приемников и 4.19) верен всегда.

Заметим, что любую данную систему сигналов можно представить через различные ортонормальные системы, но все они в конечном счете приводят к одному и тому же приемнику и, следовательно, к тем же областям решений и к тем же вероятностям ошибки. Например, если бы метод Грама—Шмидта был применен к рассмотренным сигналам в порядке то была бы получена другая пара ортонормальных функций и другой набор коэффициентов . В частности, вектор лежал бы вдоль оси имел бы положительную проекцию на ось как показано на фиг. 4А.4. С другой стороны, некоторая система функций могла бы быть получена без использования процедуры Грама — Шмидта, но в этом случае общее число функций может оказаться больше, чем размерность Такая система показана на фиг. 4А.5, а, а соответствующие векторы — на фиг. 4А.5, б. Отметим, что четыре точки, соответствующие сигналам, остались компланарпыми и имеют то же относительное расположение. Существенно, что соответствующие сигналам точки образуют одну и ту же геометрическую конфигурацию независимо от системы координат, в которой они описываются.

ЗАДАЧИ

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(кликните для просмотра скана)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)