ПРИЕМНИК С СОГЛАСОВАННЫМ ФИЛЬТРОМ

Если каждый элемент ортонормального базиса тождественно равен нулю за пределами некоторого конечного интернала времени, скажем можно обойтись без перемножителей, показанных на фиг. 4.18. Это всегда желательно, так как создать точные аналоговые перемножители трудно. Рассмотрим, например, выход линейного фильтра с импульсным откликом Если сигнал на входе фильтра, то

Положив теперь

сигнал на выходе фильтра можно записать в виде

Наконец, значение выходного сигнала в момент равно

где второе равенство следует из (4.50б). Таким образом, оптимальное правило решения может быть реализовано приемником, показанным на фиг. 4.19.

Фильтр с импульсным откликом, являющимся задержанной и обращенной во времени копией сигнала называется согласованным с , а реализация оптимального приемника, показанная на фиг. 4.19, называется приемником с согласованным фильтром. Требование, чтобы становилось.

(кликните для просмотра скана)

равным нулю при необходимо для того, чтобы согласованный фильтр был физически реализуем, т. е. чтобы при

Заметим, что как для корреляционного приемника, так и для приемника с согласованным фильтром смещающие слагаемые

представляют собой априорные данные, которые доступны на приемном конце независимо от принятого сигнала . В частном случае, когда смещающее слагаемое одинаково для всех (в частности, когда постоянны и для всех i), оно не влияет на выбор номера t, при котором решающая функция достигает максимума, и может быть, следовательно, исключено из блок-схемы приемников (фиг. 4.18 и 4.19) без потери ими оптимальности.

Простым примером согласованного фильтра является фильтр, согласованный с сигналом:

при остальных где кратно Тогда, как показано на фиг. 4.20, а,

при остальных

Реакция идеального параллельного контура, показанного на фиг. 4.20, б, на единичный импульс тока

предполагается, что в первоначальный момент времени энергия, запасенная в равняется нулю. Ясно, что, когда импульсный отклик совпадает с в интервале хотя это и не гак при Таким образом, операция с асов а иной фильтрации для может быть выполнена так, как показано на фиг. 4.20, в. Параллельно включенцый ключ, замыкаемый в момент времени поглощает всю остаточную энергию фильтра. Благодаря этому энергия сигнала, принятого до момента времени не влияет на выходной сигнал в момент времени Последовательно включенный ключ, замыкаемый в момент времени отсчитывает значение выходного сигнала фильтра в этот момент. Весь этот цикл можно повторить на интервале времени однако следует позаботиться о том, чтобы значение выходного сигнала всегда отсчитывалось как раз перед демпфированием фильтра. Согласованный фильтр такого вида называется интегрирующей и демпфирующей схемой [86]. Этот фильтр не является инвариантным во времени, но он имеет нужный импульсный отклик, если только работа ключей правильно синхронизирована с

Соотношение Парсеваля. Векторную решающую функцию можно непосредственно интерпретировать при помощи функций времени, используя следующее соотношение Парсеваля. Рассмотрим некоторую совокупность ортонормальных функций и любые два

сигнала, определяемые как

а в векторной форме соответственно как

Тогда

Таким образом, хорошо известное в теории рядов Фурье соотношение Парсеваля [62]

где и являются преобразованиями Фурье функций может быть обобщено следующим образом:

Б частности, при

Равенство (4.58a) означает, что «корреляция» между определяемая как интеграл от их произведения, равна скалярному произведению соответствующих векторов. Равенство (4.58б) показывает, что «энергия» приведенная к нагрузке в 1 ом, равна квадрату длины соответствующего вектора

Соотношение (4.58б) сразу позволяет выяснить смысл смещающего слагаемого в правиле решения для аддитивного белого гауссовского шума, а именно

где

— энергия сигнала. Кроме того, из соотношений и также имеем

Таким образом, оптимальная решающая функция (4.53а), выраженная через полный сигнал имеет вид

В соответствии с приемник с согласованным фильтром (или корреляционный приемник) может непосредственно использовать элементарные сигналы как показано на фиг. 4.21. На первый взгляд может показаться, что здесь устранена необходимость в операциях взвешивания и суммирования, используемых в схемах на фиг. 4.18 и 4.19. В действительности, конечно, эти операции выполняются, но теперь уже при помощи М согласованных фильтров (или корреляторов). Мы уже отмечали (и доказали в приложении что число ортонормальных функции, требуемое для представления любого множества из М сигналов в виде всегда меньше или равно М. Когда, как часто бывает на практике, обычно намного проще использовать фильтров, согласованных с (или V корреляторов), и аналоговую или цифровую вычислительную машину, чем фильтров, согласованных непосредственно с (или соответственно М корреляторов).

Отношение Глубже понять, почему операция согласованной фильтрации является оптимальной, можно, проанализировав величину отношения сигнал/шум. Рассмотрим ситуацию, показанную на фиг. 4.22, где произвольный линейный фильтр, Т — произвольный момент наблюдения и любой известный сигнал. В частности, в качестве можно выбрать одну из ортонормальных базисных функций. Значение выходного сигнала в момент отсчета может быть записано в виде

где среднее значение зависит от а шумовая составляющая зависит от Покажем теперь, что максимально возможное отношение мощности сигнала к мощности шума, определяемое как

достигается тогда, когда фильтр согласован с т. е. когда

На практике Т берегся достаточно большим, чтобы было реализуемым.

Мы докажем, что величина максимальна именно при такой форме используя неравенство Шварца. В соответствии с одним из вариантов этого неравенства для любой пары сигналов а и имеющих конечную энергию,

Равенство имеет место тогда и только тогда, когда где с - любая константа.

Справедливость неравенства станет очевидной, если осуществить ортонормальное разложение сигнала в и с помощью метода Грама-Шмидта, рассмотренного в приложении . При этом получим

(кликните для просмотра скана)

где

Фиг. 4.23 иллюстрирует тот факт, что угол между двумя векторами

определяется соотношением

Второе из этих равенств следует из соотношений Парсеваля . Неравенство Шварца получится, если вспомнить, что Далее, тогда и только тогда, когда т. е. когда

Воспользуемся теперь неравенством Шварца для отыскания максимума величины Для случайных величин на фиг. 4.22 имеем

и

Пользуясь неравенством Шварца, для любого фильтра получаем

Так как подстановка вместо в неравенство превращает это неравенство в равенство, то отношение действительно максимально тогда, когда фильтр согласован с как и было указано выше.

Поучительна частотная интерпретация этого результата. Поскольку амплитудный множитель влияет на сигнал и на шум одинаково, будем считать Тогда передаточная функция согласованного фильтра задается

(кликните для просмотра скана)

в виде

где спектр сигнала

Таким образом,

В соответствии с обратным преобразованием Фурье

можно считать, что вход фильтра состоит из множества малых (комплексных) синусоид, причем синусоида с частотой имеет амплитуду и фазу Проходя через фильтр, эта компонента умножается на При этом величина ее становится равной , а фаза принимает значение

Таким образом, сигнал с частотой на выходе фильтра равен

и достигает максимального значения в момент Поскольку это выполняется для каждой частоты то все частотные компоненты при совпадают по фазе и усиливают друг друга. Как показано на фиг. 4.24, в этот момент времени выходной сигнал достигает пикового значения.

Понять влияние формы амплитудно-частотной характеристики можно, сравнив согласованный фильтр с обратным фильтром, имеющим передаточную функцию

Применение такого обратного фильтра приводит к тому, что все частотные составляющие также совпадают по фазе. Однако, как показано на фиг. 4.25, обратный фильтр подчеркивает более слабые составляющие тогда как согласованный фильтр их подавляет. Так как спектр шума плоский на всех частотах, обратный фильтр усиливает шум за пределами полосы частот сигнала, а согласованный фильтр его подавляет.