§ 4. Возмущения пространственной однородности и изотропии реликтового излучения

Согласно общепринятой концепции, Вселенная с большой точностью однородна и изотропна, во всяком случае, в течение большей части времени расширения. Наиболее точно эту концепцию подтверждает независимость интенсивности (спектра, температуры) реликтового излучения от направления. До сих пор не обнаружены отклонения, которые превышали бы точность опыта

Отсюда и следует разумность выбора однородной изотропной модели в качестве первого приближения.

В следующем приближении нужно учесть возмущения, нарушающие однородность и изотропию. Надо полагать, что эти возмущения могут быть различных типов и имеются во всех пространственных масштабов — от нуля до бесконечности (или от нуля до размера Вселенной в случае замкнутой модели). Амплитуда возмущений может различной в разных масштабах.

(см. скан)

и явно проявляются в наблюдаемой структуре Вселенной. Возмущения малого масштаба, даже если начальная амплитуда их не мала затухают задолго до рекомбинации. Они не проявляются как флуктуации температуры. Возможности косвенного обнаружения мелкомасштабных флуктуаций по спектру РИ обсуждены в предыдущих параграфах.

Возмущения малой амплитуды и большого масштаба проявляются в настоящее время весьма слабо, как малая неравномерность плотности и скорости. Рассмотрим возможность их обнаружения с помощью РИ.

Для этого нужно построить теорию углового распределения РИ в возмущенной Вселенной.

Ряд авторов строит такую теорию, начиная с самого общего уравнения распространения излучения в произвольной метрике, зависящей от времени (см. Сакс и Вольф (1967)]. Работа этих авторов замечательна тем, что наряду со сложными расчетами дана ясная и простая интерпретация результатов, которую ниже мы заимствуем.

В предлагаемой книге последовательно проводится противоположный принцип — строятся частные, наиболее простые теории рассматриваемых явлений; ценой потери общности мы стремимся к простоте и наглядности.

Каковы особенности задачи, позволяющие упростить трактовку явления?

В отсутствие возмущений РИ было бы полностью изотропным, не зависело бы от угла. В этой ситуации изменение направления лучей, в частности, упругое рассеяние или фокусировка, не вызывает наблюдаемых эффектов. Об этом говорит основная теорема геометрической оптики — сохранение яркости (потока энергии в единице телесного угла) при преломлении и рассеянии без поглощения.

Теория изотропного фона оказывается во много раз проще теории действия больших масс на излучение отдельных источников. Из сказанного ясно, что никакие покоящиеся (точнее, покоящиеся относительно общего хаббловского расширения, не обладающие пекулярными скоростями) гравитационные линзы не нарушают точной изотропии РИ для земного наблюдателя.

Изменение яркости происходит всегда по типу красного или синего смещения спектра, имеем ли мы дело с доплер-эффектом или с изменением частоты в гравитационном поле — в обоих случаях частоты всех фотонов смещаются в одинаковом отношении, а безразмерные числа заполнения фотонами ячеек фазового пространства не изменяются. В результате планковский спектр остается

планковским, но со смещенным значением температуры. Это смещение температуры может быть различным для различных пучков лучей в зависимости от их «истории», от скорости источника и наблюдателя, от гравитационного потенциала в точках излучения и приема и от нестационарных гравитационных полей на пути.

Гравитационное поле изолированного покоящегося тела не нарушает изотропию, так как синий сдвиг на пути луча, приближающегося к телу, в точности компенсируется красным сдвигом на продолжении пути, когда луч удаляется от тела. Не играет роли и гравитационный потенциал того скопления или сверхскопления, к которому принадлежит наша Галактика вместе с Солнцем и Землей. Он создает только общий, не зависящий от направления синий сдвиг, который нельзя выявить наблюдениями.

В не зависящем от времени гравитационном поле излучение остается в каждой точке равновесным, и, в частности, изотропным, если оно равновесно на бесконечности; происходит лишь общее синее смещение в ньютоновском приближении. Термодинамика в ОТО дает [см. Ландау и Лифшиц (1964)] условие Так как , то этот вывод согласуется с ньютоновским при учете связи частоты и температуры

Итак, возможная анизотропия РИ полностью характеризуется распределением наблюдаемой температуры (характеризующей планковское распределение) по небесной сфере Нет надобности следить за поворотом, сужением или расширением пучка лучей, воспринимаемого наблюдателем, поскольку определяет яркость. Но для определения достаточно проследить за красным смещением вдоль луча. Это смещение зависит как от доплер-эффекта, так и от действия гравитационных полей (т. е. искажения метрики) на электромагнитное излучение, на фотоны.

Фотоны являются релятивистскими частицами, поэтому они «чувствуют» не только скалярный гравитационный потенциал (т. е. отличие от 1), но и другие компоненты . В частности, фотоны взаимодействуют с гравитационными волнами, которые не содержится в ньютоновской теории тяготения.

Возможно, однако, рассматривать луч в каждой точке его траектории в локально инерционной системе; в этом случае явное

влияметрики, т. е. гравитационных полей, на красное смещение исчезает. Вычисление сводится к суммированию (интегрированию) доплеровского изменения частоты вдоль всей траектории. В целом предлагаемый способ расчета сводится к следующему. Представим себе пространство заполненным совокупностью пробных частиц, которые не действуют никакие силы, кроме гравитационных. Рассматриваем распространение лучей в этой среде и вычисляем частоту света, измеренную наблюдателями, движущимися вместе с пробными частицами. Изменение частоты на малом отрезке зависит только от мгновенной относительной скорости соседних частиц и вычисляется по доплеровской формуле. Действительно, на отрезке относительное ускорение дает вклад в изменение частоты света, исчезающий при и интегрировании.

Не следует думать, что мы пренебрегаем влиянием гравитационных полей: они учитываются точно, хотя и косвенно — через распределение скоростей пробных частиц. В невозмущенном решении поле скоростей вблизи любой частицы задано законом изотропного расширения При наличии возмущений — как продольных, с изменением плотности, так и вихревых, или тензорных (гравитационных волн) — поле скоростей становится анизотропным, характеризуется тензором и тензор этот зависит как от времени, так и от координаты одновременно теряется изотропия и однородность невозмущенной модели.

Напомним, что такой метод нахождения красного смещения дает простой способ вывода законов красного смещения в невозмущенной модели (§ 1 гл. 3).

Смысл метода сводится к тому, что движение пробных частиц находится точно и, если нужно, с использованием ОТО. Когда движение частиц найдено, красное смещение вычисляется элементарно.

Дополнительное соображение заключается в том, что при малой амплитуде возмущений изменение траектории луча мало и изменение красного смещения (ведущее к возникновению вычисленное вдоль невозмущенной траектории, также мало.

В невозмущенной задаче изменение траектории движения частиц не меняет красного смещения. Вклад в изменение красного смещения от изменения траектории — второго порядка малости и потому может не учитываться. Ниже эти соображения применяются к расчету т. е. амплитуды и углового распределения по небу отклонений от изотропии РИ.

Будем рассматривать Вселенную, заполненную веществом с что является хорошим приближением после рекомбинации. Очевидно, что рассматривать нужно только этот период: до рекомбинации фотоны испытывают многократное томсоновское рассеяние на свободных электронах. После рекомбинации средняя энергия фотонов и в особенности энергия фотонов в рэлей-джинсовской части спектра во много раз меньше энергии ионизации водорода, нейтральный газ прозрачен. Возможность вторичной ионизации газа и рассеяния фотонов при обсудим отдельно, в связи с конкретными предположениями о возмущениях. Итак, применим изложенный выше принцип к произвольному полю пекулярной скорости пылевидного вещества Это же вещество играет роль пробных частиц, составляющих систему отсчета. Основное уравнение доплер-эффекта:

где есть проекция скорости на направление луча.

В системе координат (со штрихом), в которой одна частица покоится и к тому же равно нулю ускорение этой частицы, разность скоростей соседней частицы и данной целиком определяется пространственной зависимостью скорости. Для частицы в точке для соседних частиц

где дифференциал длины от частицы в направлении При переходе в «лабораторную» систему координат мы добавляем к зависящую от времени скорость частицы

поэтому вдоль распространения луча

где ньютоновский потенциал, описывающий движение (ускорение) частиц.

Интегрирование соотношения (15.4.4) вдоль луча дает относительное изменение частоты и, следовательно, температуры

При интегрировании первый член даст просто разность проекций скорости в начале и в конце пути (в момент

- элементарный вклад доплер-эффекта. Сложнее обстоит дело со вторым членом, поскольку потенциал зависит не только от координаты но и от времени и подынтегральное выражение не является полным дифференциалом.

Если длина волны возмущения невелика и направление луча не специально перпендикулярно волновому вектору возмущения, то являются быстро меняющимися функциями времени. Пусть угол между лучом и волновым вектором; тогда

причем медленно меняющиеся (например, степенные) функции времени, а быстрая переменность вдоль луча зависит от того, что меняется показатель в ходе распространения луча.

Интеграл вдоль луча определяется для функции такого вида вкладом пределов (см., например, Зельдович, Мышкис (1972)]

Медленно меняющиеся функции в нашем случае пропорциональны степеням времени отсчитанного от сингулярности; поэтому и каждый следующим член меньше предыдущего в отношении При и для коротких волн отсюда следует возможность оставить только старший член. При этом получим полное интегрируя (15.4.4) вдоль луча и учитывая (15.4.5):

В этом приближении результат имеет чрезвычайно простой и ясный вид: изменение частоты есть сумма доплер-эффекта, соответствующего пекулярной скорости, и чисто гравитационного влияния на частоту.

В таком виде результат приведен в тщательно выполненной работе Сакса и Вольфа, цитированной выше, как итог довольно сложных расчетов в рамках ОТО. Отметим, что в этой работе гравитационное смещение содержит коэффициент 1/3. До сих пор не ясно, как классически истолковать этот коэффициент. Применение изложенных принципов к адиабатическим возмущениям большого масштаба, к вихревым возмущениям, к гравитационным волнам имеет в каждом случае свои специфические особенности, которые обсуждаются вместе с конкретными физическими результатами в следующих параграфах.