ГЛАВА 9. ГРАВИТАЦИОННАЯ НЕУСТОЙЧИВОСТЬ В НЬЮТОНОВСКОЙ ТЕОРИИ

§ 1. Теория Джинса

В этом разделе книги мы рассмотрим физические процессы, приводящие к разбиению однородной расширяющейся среды на отдельные сгустки, т. е. приводящие к появлению небесных тел и их систем.

Впервые задачу об устойчивости однородного распределения вещества математически поставил и решил в рамках теории малых возмущений Джинс (1902).

Это решение подробно изложено в известном курсе Джинса (1929). Несмотря на некоторую непоследовательность, которая будет отмечена и исправлена в последующем изложении, теория Джинса до сих пор представляет не только исторический интерес. Ее ценность подчеркивается такими прочно укоренившимися названиями, как «джинсовская длина волны», «джинсовский инкремент».

Главное в теории Джинса — учет двух факторов: 1) тяготения, стремящегося собрать вещество в отдельные комки или сгустки, и 2) давления, стремящегося выравнять неоднородности, равномерно распределить вещество.

Изложим сперва теорию в том наиболее простом виде, в каком она была создана ее автором.

Напомним общие уравнения гидродинамики и тяготения в ньютоновском приближении для идеального газа:

где плотность, u — скорость, удельная энтропия вещества, гравитационный потенциал. Предположим вслед за Джинсом, что невозмущенным состоянием является покоящийся газ равномерно распределенный в пространстве

Давление его везде постоянно Молчаливо предполагается, что и силы тяготения в безграничном равномерно распределенном газе каким-то образом исчезают, хотя это и противоречит уравнению Пуассона. Это и есть та непоследовательность, о которой мы говорили выше. К этому вопросу мы вернемся позже.

Для получения решения для возмущений обычно применяют метод разложения произвольного возмущения по какой-либо системе ортогональных функций — метод Фурье — и ищут затем развитие во времени отдельных составляющих возмущения. В нашем случае наиболее просто разложить возмущение на систему плоских волн.

Возмущенное решение ищем в виде одной плоской волны с волновым вектором наложенной на невозмущенное решение. Итак, предположим:

В выражении для скорости написано первое слагаемое подчеркивающее, что невозмущенное решение

В последнем выражении для давления введены обозначения причем есть адиабатическая скорость звука.

Подставим эти выражения в уравнения гидродинамики; как полагается в теории возмущений, рассматриваем только члены, линейные по Члены нулевого порядка (не содержащие описывают невозмущенное решение, и предполагается, что для них уравнения выполняются тождественно.

Членами второго порядка (квадраты и произведения малых величин и т. п.) пренебрегаем.

Получим систему линейных однородных уравнений:

В теории Джинса невозмущенное решение не зависит от времени. Следовательно, в уравнениях (9.1.3) коэффициенты постоянны, время входит только под знаком дифференциала. В этом случае общая теория предсказывает определенный, а именно экспоненциальный, характер зависимости возмущений от времени:

Задачей теории является определение величины со и соотношения между величинами а в собственных решениях. Абсолютная амплитуда собственного решения зависит от начальных условий.

Итак, вернемся к нашей задаче. Подставляя (9.1.4) в систему (9.1.3), получим

А. Адиабатические возмущения.

Наиболее интересно решение с т. е. решение, зависящее от времени. В этом случае и вектор параллелен волновому вектору Введем обозначение

и получим окончательно систему скалярных уравнений для возмущений, зависящих от времени, с

Система (9.1.6) имеет нетривиальное решение при условии

Ясно, что свойства решения критически зависят от знака подкоренного выражения в (9.1.7). При заданных свойствах вещества существует критическое значение определяемое условием

Здесь критическая длина волны, соответствующая критическому значению (индекс от «джинсовский»).

Рассмотрим отдельно следствия теории гравитационной неустойчивости в случае и в случае

1) величина со, определяемая (9.1.7), действительна. Возможны два решения: с положительным и отрицательным . Существование решения с положительным , растущего, как означает гравитационную неустойчивость однородного распределения вещества. Из уравнений следует, что при вещественном со отношение содержит мнимую единицу Как известно, при пользовании комплексными величинами в расчетах, относящихся к действительным переменным, таким, как плотность, давление, скорость, подразумевается, что уравнения удовлетворяются для вещественной части комплексных величин, входящих в расчет. Предположим, что выбрано вещественным, и выпишем возрастающее решение в вещественном виде:

Итак, мнимая единица в отношении между возмущениями плотности и скоростью движения означает, что эти величины сдвинуты по фазе: в местах максимума и минимума плотности равна нулю скорость, в местах максимума модуля скорости равно нулю возмущение плотности. При инкремент Время возрастания возмущений веразт — по порядку величины совпадает с космологическим временем, за которое в модели Фрцдмана плотность изменяется от до

и это не является случайным совпадением.

2) . В этом случае формулу (9.1.7) лучше переписать в виде

При мнимой частоте со отношение между возмущением плотности и скоростью вещественное.

После перехода к вещественным физическим величинам это означает, что плотность и скорость имеют одну и ту же фазу, максимум модуля скорости совпадает с максимумом и минимумом плотности. При этом собственное решение имеет характер бегущей волны, скорость движения в направлении распространения пропорциональна возмущению плотности в каждой точке, амплитуда не зависит от времени:

Рассмотрим предельный случай весьма коротких волн В выражении (9.1.10) можно пренебречь величиной по сравнению с и решение (9.1.11) переходит в простые звуковые волны, распространяющиеся со скоростью звука.

Итак, главный вывод заключается в том, что для длинноволновых возмущений основную роль играет тяготение, обусловливающее неустойчивость равномерного распределения и существование экспоненциально нарастающих возмущений плотности; давлением в этом случае можно пренебречь.

Для коротковолновых возмущений основную роль играет давление, возмущение плотности сопровождается возмущением давления, которое приводит к распространению акустических волн постоянной амплитуды. Для коротковолнового возмущения можно пренебречь ролью тяготения, в следующем приближении тяготение меняет скорость звука, но амплитуда остается постоянной, неустойчивость не появляется.

Граница гравитационной неустойчивости определяется условием т. е. длиной волны Джинса. Обычно говорят также о «массе Джинса» — массе, заключенной в объеме

Это наименьшая масса, для которой давление еще не может помешать росту плотности под действием гравитации. Поэтому

предполагается, что с течением времени однородно распределенное вещество переходит в отдельные объекты (звезды) с массой, не меньшей чем Удобно выразить в астрономических единицах, т. е. в массах Солнца и парсеках:

Здесь атомный вес, рассчитанный на одну частицу для нейтрального водорода, для ионизованного водорода), для нейтрального водорода ( — плотность числа атомов водорода).

Теория Джинса в том виде, в каком она изложена выше, формально ошибочна, поскольку невозмущенное однородное распределение вещества предполагается стационарным. Между тем в действительности невозмущенное решение должно быть нестационарным, поскольку постоянной плотности соответствует переменный гравитационный потенциал Эту «болезнь» нельзя вылечить, взяв в качестве невозмущенного такое статическое решение, в котором гравитация уравновешена градиентом давления: как подробно показано в ТТ и ЭЗ, такое тело имеет конечную массу и размеры порядка так что к нему теория Джинса неприменима. Однородное распределение плотности должно быть нестационарным, т. е. с зависящей от времени плотностью, с общим расширением (или сжатием).

На первый взгляд нестационарное решение очень сильно отличается от стационарного, которое использовано в теории Джинса. Но, как мы увидим, все же результаты точной теории весьма близки к результатам Джинса. Формально ошибочная теория Джинса является хорошим приближением и помогает пониманию точной, но более сложной теории.

Как следует обобщить теорию Джинса?

1. Учесть зависимость причем определяется космологическим решением.

2. Учесть, что давление и скорость звука также зависят от времени:

3. В ходе расширения длины волн данного элементарного возмущения возрастают так же, как и расстояния между каждой парой частиц:

4. Подставляя в (9.1.7) и (9.1.10), мы получим

Очевидным обобщением выражения является Это соответствует предположению, что в нестационарном случае возмущения удовлетворяют дифференциальному уравнению вида . В § 3 этой главы точное решение задачи гравитационной неустойчивости однородного вещества сравнивается с результатами, полученными с помощью такого обобщения результатов Джинса; хорошее согласие между ними показывает, что «ошибочная» теория верна по существу.

Б. Энтропийные и вихревые возмущения.

Обратимся к решениям, соответствующим нулевой частоте, т. е. к таким возмущениям, которые вовсе не зависят от времени в джинсовской постановке задачи. Условие для возмущения энтропии допускает решение при Очевидно, что в отсутствие теплопроводности начальная неравномерность распределения энтропии с течением времени сохраняется, не изменяется. Полное решение с требует также механического равновесия; из уравнения движения получим

При большом т. е. при малой длине волны, можно пренебречь вторым членом в знаменателе, т. е. силами тяготения. В этом случае связь и а соответствует простому условию постоянства давления. При учете сил тяготения условие равновесия меняется. Знаменатель обращается в нуль как раз при джинсовском критическом когда также и для возмущений плотности и скорости, рассмотренных выше в Можно убедиться, что в задаче с конечными начальными значениями и а при значения при Ьфоо остаются конечными, хотя при они и представляются как разность двух бесконечных величин.

Другой тип решения с получается, если вектор скорости V выбрать перпендикулярным волновому вектору, так что Тогда из уравнений следует можно принять также (случай был выделен выше) и

Очевидно, что при равна нулю дивергенция скорости (в полном соответствии с тем, что плотность остается постоянной при таком движении), но отличен от нуля ротор скорости:

Поэтому такое движение называется вихревым. При данном

направлении есть два направления, перпендикулярных и между собой, т. е. два линейно независимых вихревых движения.

Подсчитаем общее число типов возмущений с данным два продольных с и одно энтропийное и два вихревых — итого пять типов.

Начальное состояние среды характеризуется заданием плотности, энтропии и скорости. Скорость является вектором, т. е. характеризуется тремя компонентами. Следовательно, начальное состояние характеризуется заданием всего пяти величин, что как раз и позволяет однозначно определить амплитуды пяти независимых типов возмущений.

До сих пор рассматривались возмущения с заданной периодической зависимостью от пространственных координат возмущения с произвольной зависимостью от координат нужно сперва разложить в интеграл Фурье (об этом разложении см. ниже, гл. 12). Сейчас продолжим рассмотрение отдельных волн с периодической зависимостью от координат.