§ 2. Неустойчивость расширяющегося однородного вещества

Неустойчивость расширяющегося однородного вещества в ньютоновском приближении была доказана Боннором (1957). В качестве невозмущенного решения он использовал нестационарные изотропные космологические модели Такие модели были рассмотрены в первом разделе. Напомним решение, описывающее эволюцию изотропно расширяющегося однородного вещества. Точное решение невозмущенной системы уравнений (9.1.1) имеет вид

Решением (9.2.1) удовлетворены все уравнения, включая уравнение Пуассона, правда, ценой бесконечного потенциала и бесконечной скорости на пространственной бесконечности: .

В (9.2.1) х — радиус-вектор, и удовлетворяют уравнениям

Возмущения будем искать в виде

в соответствии с высказанными в конце § 1 этой главы соображениями; длина волны возмущения увеличивается при расширении Вселенной. Для возмущений скорости и гравитационного потенциала запишем:

возмущения скорости предполагаются потенциальными, т. е. Невозмущенное движение частицы описывается уравнением

общее решение которого имеет вид

где

В релятивистской теории определяет радиус Вселенной. В нерелятивистской ньютоновской теории это масштабный множитель, определяющий изменение расстояния между каждой парой частиц. Абсолютное значение в ньютоновской теории несущественно, имеет смысл лишь отношение . Величина есть лагранжева координата, постоянный (не зависящий от времени) вектор х есть волновой вектор в лагранжевых координатах. Выше мы предположили, что возмущения имеют вид

и аналогично для скорости и потенциала.

Справедливость этого предположения проверяется непосредственно подстановкой величин в основные уравнения. Если учесть, что то окончательно уравнения для величин могут быть приведены к виду (множитель выпадает из уравнений)

Это — система уравнений первого порядка с зависящими от времени коэффициентами (индекс при дальше опускаем), которые определяются невозмущенным решением и уравнением состояния газа. При система

(9.2.5) переходит в уравнения Джинса. Из (9.2.5) легко получить одно уравнение второго порядка:

В общем случае решение и исследование этого уравнения довольно громоздки. Поэтому мы начнем с простейших случаев. Уравнение (9.2.6) сильно упрощается, если предположить так что скорость звука Заметим, что

При выбранном уравнении состояния и, следовательно, оба члена в скобках уравнения (9.2.6) пропорциональны т. е. находятся в постоянном отношении. В этом случае для данного сопутствующего объема (для данной массы или для данной системы частиц) отношение внутренней энергии и гравитационной энергии остается постоянным в ходе расширения. Эти же свойства проявляются и в возмущениях.

Сделаем и второе упрощающее предположение — рассмотрим случай «плоской Вселенной», для которого невозмущенное движение описывается формулами

В этом случае уравнение (9.2.6) приводится к виду

Это уравнение имеет степенные решения:

где

Очевидно, решение критически зависит от знака подкоренного выражения в (9.2.8). Этот результат поучительно сравнить с теорией Джинса. Из (9.2.8) следует, что подкоренное выражение для обращается в нуль (показатель при этом есть при

Для сравнения укажем, что в теории Джинса критическая длина волны определялась формулой Подставляя получим

В расширяющейся Вселенной критическая длина волны по порядку величины близка к расстоянию, проходимому звуком за время расширения или, точнее, Этот результат широко используется ниже. Все различие между точным значением критической длины волны Джинса и приближенным, полученным из теории Джинса заключается в различии множителей Близки и другие выводы точной теории и теории Джинса.

Для получаем Обобщая результаты Джинса (как указано в § 1), мы получили бы

Другому предельному случаю, в точной теории Боннора соответствуют звуковые волны:

фазовая скорость совпадает с мгновенной скоростью звука:

Появление в формуле (9.2.11) множителя легко объяснить с помощью теории адиабатических инвариантов. Согласно этой теории, энергия звуковой волны изменяется пропорционально ее частоте

Частота энергия звука в сопутствующем объеме V есть Поэтому

Если при обобщении теории Джинса учесть этот множитель также и для апериодических длинных волн, то получим закон который очень хорошо совпадает с точным решением (так как ).

В работе Боннора (1957) рассматривалась эволюция со временем не плоских волн, а сферических. Очевидно, это не может изменить результаты линейной теории, так как с помощью набора плоских волн можно построить сферическую волну.

Отметим, наконец, что в общую классификацию возмущений в расширяющейся Вселенной нужно включить также энтропийные и

вихревые возмущения, наподобие того, как это сделано было в теории Джинса (§ 1).

Энтропийные возмущения от времени не зависят, лишь длина волны растет по мере всеобщего расширения:

Выражения для соответствующего возмущения плотности в общем случае произвольного уравнения состояния достаточно сложно. В принципе начальное возмущение энтропии может вызвать нарастающее возмущение плотности; к этим вопросам мы вернемся позже.

Вихревые возмущения в расширяющейся Вселенной представляют собой такие же возмущения скорости, направленные перпендикулярно волновому вектору, как и в § 1:

При этом возмущения всех других величин — плотности, потенциала, энтропии — тождественно равны нулю.

Для амплитуды вихревой скорости получается уравнение

Сопоставляя его с законом расширения

получим ответ

где постоянный вектор, перпендикулярный волновому вектору величина и направление определяются начальными условиями. Этот результат справедлив при любом законе в частности и в случае, соответствующем закрытому или открытому миру. Для единичной волны, т. е. при отсутствии возмущений другого типа и возмущений с другими волновыми векторами, результат справедлив и при конечной, не малой амплитуде В следующем параграфе мы вернемся к растущим и затухающим возмущениям плотности, которые сопровождаются продольным движением вещества, Общий случай произвольного уравнения состояния и не плоской Вселенной приводит к сложным вычислениям и здесь не рассматривается [см. Хантер (1962), Саведов и Вила (1962)]. Ниже будет подробно рассмотрен случай малых (при этом уравнение состояния в уравнения задачи не входит) и неплоской Вселенной.