§ 3. Крупномасштабные возмущения: автомодельное решение

Полученные выше результаты показывают, что давление не влияет на развитие крупномасштабных возмущений. Этот факт весьма важен и заслуживает более подробного обсуждения.

В рамках метода Фурье уравнения для возмущений плотности 8 и произведения не зависят от в пределе Следовательно, возмущения любой длины волны с развиваются по одному и тому же закону с течением времени. Поэтому в этом случае использование разложения в ряд Фурье является излишним. Точнее, для каждой волны есть два решения [для возмущения плотности и продольной скорости — возрастающее и убывающее в простейшем случае плоского мира]. Поэтому можно предвидеть, что решение уравнений движения вещества с учетом тяготения, но без учета давления, можно будет представить в виде

Для одной волны произведение равно дивергенции скорости. Мы обобщаем на случай произвольного движения Два решения — с индексом i (increasing - растущее) и с индексом d (decreasing - затухающее) — факторизованы, т.е. записаны в виде произведения функции времени на функцию координат. Так как возмущенная область расширяется в ходе общего расширения Вселенной, то факторизация достигается лишь при использовании функций, зависящих от т. е. от лагранжевых координат, но не от х.

Рассматривая дивергенцию скорости D (а не саму скорость ), мы отвлекаемся от рассмотрения вихревых возмущений со своим законом зависимости от времени, отличающимся от Две функции времени 8,- и представляют собой решения одного уравнения второго порядка

которое совпадает с уравнением (9.2.6), полученным с помощью разложения в ряд Фурье, если в нем положить Это не удивительно, так как, очевидно, есть частный случай функции Уравнение (9.3.2) имеет два линейно независимых решения ; и например упомянутые в простейшем случае модели плоской Вселенной. Поэтому, если в момент заданы и то, вводя вместо х, можно получить два уравнения:

Решая эти уравнения относительно и получим

Например, если при вещество покоится, т. е. заданы лишь возмущения плотности, то

Следовательно, в этом простейшем случае возмущение нарастает без изменения формы [Дорошкевич, Зельдович (1963)]. Поскольку нарастает с течением времени, а убывает, то при

Пренебрегая затухающим решением, получим для вещества, покоящегося в момент

В общем случае начальное состояние задается пятью независимыми функциями координат — возмущением плотности, энтропии и тремя компонентами вектора скорости. Однако растущее крупномасштабное решение есть только одно. В общем случае, если начальная амплитуда растущего решения не равна нулю по какой-нибудь специальной причине с течением времени растущее решение оказывается больше остальных решений и можно учитывать только это растущее решение.

В зависимости от времени оно нарастает пропорционально Пространственное его распределение с течением времени остается подобным самому себе и с помощью формул (9.3.3), (9.3.4) выражается через начальное распределение (при скорости и плотности (а в общем случае также энтропии и состава).