§ 5. Формулы, описывающие развитие возмущений

Выше были введены величины выписаны уравнения, которые определяют изменения этих величин, и даны соображения о ходе решений. В этом параграфе мы рассмотрим формулы, описывающие решения этих уравнений в зависимости от времени и от красного смещения Произвольные постоянные выбраны так, что при Поэтому приведенные формулы позволяют узнать, какими должны были бы быть возмущения при произвольном z для того, чтобы дать сегодня.

Масштаб возмущений приведен как длина волны на сегодняшний день. Принято в формулах использованы постоянная Хаббла и безразмерная плотность сегодня. Поэтому ниже рассматривается как постоянная.

В простейшем случае имеем

Если вместо использовать красное смещение то

Наконец, для вихревых возмущений а соответствующая скорость

Обратимся теперь к случаю Выпишем некоторые формулы, относящиеся к невозмущенному движению:

Нормированная затухающая мода возмущений может быть записана в виде

в соответствии с упомянутым выше результатом см. (9.4.2).

Для соответствующих возмущений скорости и ее дивергенции имеем

Напомним, что функции, растущие с увеличением описывают величины, убывающие с течением времени, поскольку убывает само .

Нарастающую моду или нетрудно получить из уравнения (9.2.6); из этого уравнения легко найти, что для любых двух решений Таким образом, если известно одно решение то для другого имеем

Интеграл берется в элементарных функциях:

Это выражение не нормировано условием при для нормировки его надо умножить на величину

Это приближенная формула дает правильную асимптотику при и при Таким образом, произведение (9.5.7) [или (9.5.6)] и (9.5.8) дает нормированное

Асимптотику при лучше получить непосредственно из интеграла (9.5.6). Для нормированного значения получаем две асимптотики: при Приближенно можно считать, что возрастает от до первой асимптотике, а в дальнейшем при постоянно и равно 1. Соответственно скорость, связанная с возмущениями, сперва растет пропорционально а потом падает пропорционально Напоминаем, что выражения «растет» и «падает» относятся к возрастанию времени, т. е. уменьшению

Для того чтобы понять такое поведение возмущений, напомним свойства невозмущенной модели. При сегодня (точнее, при расширение происходит с почти постоянной скоростью удаления каждых двух заданных частиц, гравитация почти не влияет на невозмущенное движение (см. модель Милна, раздел I). Естественно, что в этот период гравитация не влияет и на развитие возмущений. Поэтому нет и нарастания возмущений, естественно, и падение скорости обратно пропорционально радиусу мира.

Идя в прошлое, мы можем записать относительная хаббловская скорость частиц на расстоянии

где следовательно, до тех пор в прошлом, пока

Дадим количественное выражение этих общих соображений. Напомним прежде всего закономерности, относящиеся к однородной Вселенной с малой безразмерной плотностью в настоящее время. До конца данного параграфа будем обозначать значения, относящиеся к настоящему моменту в отличие от

относящихся к прошлому, характеризуемому красным смещением .

Итак, выпишем еще раз

Почти пустая, почти милновская в настоящее время космологическая модель была почти плоской, почти критической в прошлом Например, но в прошлом Соответственно и закон роста возмущений (9.5.6) или (9.5.7) отклоняется от простых законов плоского мира только при приближении к настоящему времени.

Формулы (9.5.6) и (9.5.7) и соответствующие им формулы для пекулярной скорости неудобны. Можно предложить простую интерполяционную формулу, имеющую удовлетворительную точность во всем интервале z и асимптотически точную при больших z и при а именно:

Формула для пекулярной скорости (также в растущем со временем типе возмущений) имеет вид

Пекулярная скорость возмущения достигает максимума [в точном расчете по (9.5.7), а не по (9.5.11)] при

Можно также поставить вопрос о моменте, когда максимально отношение пекулярной скорости к хаббловской разности скоростей двух частиц, находящихся на расстоянии, равном половине длины волны

Соответствующие зависят от величины что видно уже из того факта, что при пекулярная скорость и отношение ее к хаббловской непрерывно нарастают, максимумов нет. Из общих соображений ясно, что и всегда, при любом соответствуют [по формуле (9.5.9) для определенным, не зависящим от значениям: