§ 5. Неустойчивость космологических решений относительно возникновения движения всего вещества

До сих пор предполагалось, что вещество все время в среднем покоится относительно системы отсчёта модели, т. е. все

Посмотрим, устойчиво ли такое решение.

В предыдущем параграфе было рассмотрено возникновение локальных флуктуаций с и показана их «кинематическая» природа (в смысле несущественности самогравитации флуктуаций). В этом параграфе будет показано, что анизотропная модель неустойчива в том же приближении (без обратного влияния) и относительно возникновения однородного движения всего вещества в целом, т. е. относительно возмущения с

Как и для всякой неустойчивости, в данной задаче нарастают разные моды в зависимости от того, рассматривается ли сжатие всего вещества (коллапс) или расширение (космологическая задача). Для коллапса подобная задача была рассмотрена Лифшицем и Халатниковым (1960, 1963а, б), космологическая задача рассмотрена Новиковым (1970) на основе результатов Лифшица и Халатникова.

Здесь будет рассмотрена космологическая задача; задачу о коллапсе можно найти у Ландау и Лифшица (1973).

Будем рассматривать вакуумную стадию. Наличие материи не влияет на решение, метрика записывается в виде

Предположим теперь, что в некоторый начальный момент времени есть определенная (малая) скорость всего вещества. Посмотрим, как будет двигаться материя в момент времени Так как рассматриваются ранние стадии расширения, то уравнение состояния полагается равным Уравнения движения вещества записываются в виде Ландау, Лифшиц (1973), стр. 412]

здесь четырехмерная скорость.

Нас интересуют сейчас возмущения длинноволнового типа т. е. все производные по пространству в системе отсчета (19.5.1), меньше, чем по времени. Таким образом, мы рассматриваем однородное возмущение скорости всего вещества. Если величины в (19.5.2) зависят только от времени, то уравнения легко интегрируются. Считаем, что в начальный момент времени все физические компоненты скорости одного порядка. Рассматривается расширение модели. При решение системы (19.5.2) дает для главных членов по степеням наименьший показатель)

Из решения (19.5.3) и тождества следует, что

Здесь модуль трехмерной скорости, выраженный в единицах скорости света. Таким образом, скорость стремится к световой по закону

Найдем компоненты трехмерной физической скорости по разным осям координат. Эти компоненты в данном случае суть

Из (19.5.5), подставляя (19.5.3), (19.5.4) и из (19.5.1), исходим, что в первом порядке

Для более точно можно написать Таким образом, и скорость стремится к световой вдоль оси по которой происходит сжатие системы отсчета. Выражения (19.5.3), (19.5.4) и (19.5.6) описывают релятивистскую стадию движения. Эти выражения показывают неустойчивость решения относительно однородного возмущения скорости. Начальные стадии развития такой неустойчивости, когда не описываются соотношениями (19.5.3) и были получены в предыдущем параграфе.

Вернемся к релятивистской стадии неустойчивости. Обратим внимание на то обстоятельство, что все рассмотрение проводится в системе, относительно которой материя движется с релятивистской скоростью. Это ведет к двум важным следствиям.

Во-первых, собственное время в сопутствующей системе отсчета (движущейся вместе с материей) отличается от времени системы (19.5.1). Связь между временами находится из релятивистского соотношения

Используя (19.5.4), находим

Подставляя это выражение в (19.5.3), получаем для плотности энергии

Во-вторых, события, одновременные в системе отсчета (19.5.1), не одновременны в сопутствующей системе. В системе (19.5.1) нет пространственных градиентов плотности и давления — мы выбрали однородное решение. Однако пространственная неоднородность появляется в сопутствующей системе отсчета из-за относительности одновременности. Наличие градиентов давления в сопутствующей системе отсчета ведет к тому, что деформация вещества зависит от уравнения состояния. Поэтому материя с разными уравнениями состояния набирает скорость относительно системы разным законам, что легко видеть из уравнений (19.5.2). Например, для пыли с уравнением состояния из (19.5.2) сразу получаем что отличается от (19.5.3), полученного для

Для пыли изменение компонент скорости вещества в системе (19.5.1) есть чисто кинематический эффект и физическая компонента импульса вдоль данной оси обратно пропорциональна масштабному фактору вдоль этой оси. Поэтому скорость всегда растет вдоль оси, по которой происходит сжатие, и убывает вдоль осей, по которым происходит расширение.

При наличии давления картина осложняется градиентами сил давления в сопутствующей системе, и иногда эффект этих сил

может превалировать над кинематическим эффектом. Для демонстрации сказанного рассмотрим случай, когда уравнение состояния вещества а скорость движения направлена строго вдоль одной из осей (назовем ее а). Остальные компоненты скорости тождественно равны нулю. Тогда справедливо решение (19.5.3) и соотношение (19.5.4), только может принимать любые значения — от до 1 в зависимости от того, по какой из осей направлена скорость.

Если бы в росте скорости играл роль только кинематический эффект, физическая скорость росла бы для отрицательных значений и убывала для положительных. Это действительно имеет место для пыли. Однако из (19.5.4) видно, что в рассматриваемой задаче с критическим для роста скорости является не нулевое значение показателя, а

Таким образом, даже если движение направлено вдоль расширяющейся оси, но расширяющейся не слишком быстро скорость релятивистского газа относительно однородной системы отсчета растет. Это обстоятельство важно для космологических задач.

Вернемся теперь к тем исходным предположениям, в которых рассматривалась задача.

Первое замечание связано с предположением о том, что материя не оказывает обратного влияния на решение для метрики, т. е. рассматривалась вакуумная стадия. Это предположение справедливо лишь со следующей оговоркой. Мы рассматривали до сих пор метрику вида (18.3.1), в которой трехмерное пространство плоское, все . Для такой метрики все а значит, и так как (к — постоянная тяготения Эйнштейна). Таким образом, метрика вида (18.3.1) не допускает движения вещества в системе отсчета. Следовательно, строго говоря, движение вещества должно предполагать искривление трехмерного пространства однородной системы отсчета. Если это искривление не влияет на эволюцию модели вблизи сингулярности, то оно не влияет и на движение материи, пока расстояния, пройденные материей, малы по сравнению с радиусом кривизны трехмерного пространства. В этом случае все изложенное выше справедливо как первое приближение на вакуумной стадии, хотя и надо помнить, Что трехмерное пространство искривлено. Мы увидим в гл. 21, при каких типах искривления трехмерного пространства сингулярность при действительно имеет описанный выше «казнеровский» характер с и справедлив проделанный анализ.

При некоторых типах искривления трехмерного пространства (см. гл. 21) кривизна коренным образом меняет характер решения Для вблизи сингулярности, [Белинский, Лифшиц, Халатников (1970)]. Решение носит осцилляционный характер и не описывается простыми степенными формулами вида (19.5.1). Хотя в

таких решениях имеется неустойчивость, аналогичная описанной выше, но характер эволюции будет, разумеется, иным.

Второе замечание относится к предположению об однородности скорости в очень большом масштабе, Если это условие выполнено в некоторый момент для фиксированного лагранжева масштаба, то оно с течением времени будет нарушено. Тогда в уравнениях (19.5.2) члены с пространственными координатами будут играть основную роль и изменят характер решения. Таким образом, всегда надо помнить об ограниченности применения полученного решения со стороны будущего времени. Разумеется, вакуумные решения во всех случаях ограничены во времени, о чем подробно говорилось выше.

Наконец, в заключение отметим следующее. Мы предполагали, что в некоторый начальный момент все компоненты скорости одного порядка. Момент может быть моментом возникновения флуктуации скорости или может совпадать с сек — минимальным временем, возможным в неквантовой космологии (подробнее см. V раздел). Сделанное предположение о компонентах скорости тогда кажется разумным. Однако если стать на точку зрения неограниченной применимости уравнений ОТО вплоть до сингулярности, то из предположения об отличии всех компонент скорости материи от нуля в некоторый момент следует, что наибольшей при была компонента скорости вдоль оси, по которой происходит наиболее быстрое расширение (показатель степени положительный и наибольший). Тогда мы приходим вблизи к картине релятивистского движения вещества вдоль оси скорость движения затухает по мере расширения. Мы не будем подробнее останавливаться на этом, так как неограниченная применимость ОТО при представляется неправомерной. При столь пекулярных начальных условиях для скорости (релятивистское движение вдоль z при требовалось бы специальное обоснование. Однако при рассмотрении коллапса, в отличие от космологической задачи, такое поведение вещества (движение вещества вдоль оси с наибольшим положительным показателем степени в зависимости от времени), конечно, необходимо.