§ 4. Кинетическая теория нейтрино в анизотропной модели; автомодельное решение

Исследование кинетического уравнения для нейтрино проведено в работах Дорошкевича, Зельдовича, Новикова (1968, 1969а, б). Будем рассматривать вакуумную стадию; кроме того, положим т. е. Функция распределения нейтрино в импульсном пространстве (плотность до), соотнесенная к ячейке, равной определяется кинетическим уравнением

где — столкновительный член, описывающий изменение функции распределения нейтрино из-за взаимодействия с остальными частицами.

Остальные частицы находятся в термодинамическом равновесии, которое характеризуется заданием температуры (в энергетических

единицах). Предположим, что все эти частицы ультрарелятивистские, так что для них имеет место уравнение состояния

плотность энергии сумма статистических весов. Пренебрежем отличием ферми- и бозе-газов от классического, т. е. заменим на в формулах равновесного распределения и, соответственно, выбросим во множителях в интеграле столкновений. Тогда где статистический вес сорта частиц для для скалярных мезонов и двухкомпонентных нейтрино). При сделанных предположениях

Температура определяется уравнением сохранения энергии: где член, описывающий влияние на температуру взаимодействия плазмы с нейтрино. Если предположить, что сечения взаимодействия нейтрино с остальными частицами степенным образом зависят от энергии сталкивающихся частиц в системе центра инерции то можно убедиться, что система (20.4.1) — (20.4.2) допускает автомодельное решение вида

Физическими параметрами, определяющими задачу, являются (при заданной метрике): показатель постоянная (или несколько постоянных в выражении для сечения взаимодействия, числа и характеризующие термодинамику системы. Практически для определения области существования автомодельного решения удобно действовать следующим образом: задаваясь значениями определять область изменения

Эту общую программу удалось осуществить лишь после дополнительных упрощающих предположений относительно взаимодействия нейтрино с равновесной плазмой и друг с другом.

Задачу удается решить в двух случаях:

1. Рассматривается только одиночное рождение и гибель нейтрино согласно реакции

где вместо могут фигурировать и другие частицы, находящиеся в равновесии. Кроме них могут присутствовать и другие частицы, не взаимодействующие с нейтрино.

2. Рассматривается только парная аннигиляция и рождение нейтрино и антинейтрино согласно реакции

с добавочным ограничением на показатель степени в выражении для сечения Здесь также допускается присутствие частиц, не взаимодействующих с нейтрино.

Учет рассеяния нейтрино, а также отказ от ограничения условием во втором случае приводят к большим техническим трудностям, и пока эти варианты не рассмотрены. В задаче только с одним рассеянием (без рождения — парного или одиночного) автомодельного решения, очевидно, нет.

Подробный анализ проведен в работе Дорошкевича, Зельдовича, Новикова (1969а), здесь мы приведем только выводы из этого анализа.

Эти выводы следующие:

1. Автомодельное решение рассматриваемого выше типа при возможно лишь при Это следует как из задачи 1, так и из задачи 2. По-видимому, учет рассеяния не сможет заметно изменить этот результат.

2. Из анализа задачи 2 следует существование критических значений показателя степени таких, что при автомодельное решение существует при любом значении При автомодельное решение существует лишь при Наконец, при автомодельного решения нет вообще.

В работе Дорошкевича, Зельдовича, Новикова (1969а, б) получено общее решение кинетического уравнения для нейтрино в случае задачи 2 и строго показано, что в приближении квазисвободных частиц действительно возникает решение для функции распределения нейтрино, описанное в § 2 этой главы.

Для наиболее важного (реального) значения (т. е. и реального при нет автомодельного решения в кинетического уравнения, подобного вязкому решению Мизнера.

Физический вывод заключается в том, что когда в анизотропном космологическом решении при а, близком к V,, начинается отклонение от равновесия слабовзаимодействующих частиц, то вскоре эти частицы становятся свободными, число их уменьшается, а средняя энергия растет, как это описано в § 2. Последующие работы Мизнера с сотрудниками [см. Матцнер и Мизнер (1972)] подтвердили этот результат.