§ 3. Общее космологическое решение с сингулярностью

В § 1 мы уже подчеркивали, что при рассмотрении космологической сингулярности в прошлом в начале расширения нет специальных оснований предполагать, что характер расширения описывается наиболее общим решением, а не каким-нибудь специальным, вырожденным. Характер расширения в этом случае определяется начальными условиями в сингулярности, которых мы не знаем и

которые могут определить характер расширения в соответствии с каким-либо специальным решением, а не наиболее общим. Одну из таких возможностей — интенсивное рождение пар частиц античастиц вблизи сингулярности, приводящее к изотропному расширению, — мы рассмотрим далее. Но, конечно, решение, описывающее наиболее общий характер расширения от сингулярности, представляет громадный интерес для понимания того, что могло происходить, и, следовательно, для выяснения того, что происходило в действительности. Помимо этого, следует подчеркнуть, что именно общее решение описывает коллапс — сжатие к сингулярности космологической модели (если расширение сменяется сжатием, т. е. если а также и коллапс отдельного тела, сжавшегося под свой гравитационный радиус (см. ТТ и ЭЗ).

Общее решение вблизи сингулярности было построено Белинским, Лифшицем, Халатниковым (1972). В данном параграфе излагаются результаты их работы. Оказалось, что в общем случае при приближении к сингулярности решение, описывающее деформацию, имеет локально, в окрестности каждой точки, тот же характер, что и в модели типа IX или VIII Бианки (модель «перемешанного» мира). Решение состоит из чередующихся «казнеровских эпох» и описывает осцилляционный режим приближения к сингулярности.

Для удобства изложения мы здесь будем описывать сжатие — коллапс. Для описания расширения нужно изменить знак времени.

Общее решение строится следующим образом. Еще в работе Лифшица и Халатникова (1963а, б) приведено так называемое обобщенное решение Казнера. Это решение локально описывает деформацию согласно решению Казнера [см. (18.3.6), (18.3.7)]. Но направление главных осей деформации и величина казнеровских показателей степени меняются от точки к точке трехмерного пространства. Метрика обобщенного казнеровского решения записывается в синхронной системе отсчета в виде

Греческие индексы пробегают значения функции пространственных координат; пространственные векторы тоже функции пространственных координат, они являются единичными векторами. Выпишем теперь уравнения Эйнштейна для синхронной системы отсчета (скорость света равна 1):

Здесь точка с запятой означает ковариантное дифференцирование в трехмерном пространстве с метрикой трехмерный тензор кривизны Риччи, построенный из

Мы будем исследовать решение уравнений Эйнштейна вблизи сингулярности. Оценки показывают, что в этом случае компонентами тензора энергии-импульса в уравнениях (22.3.4) и (22.3.6) можно пренебречь по сравнению с членами в левых частях уравнений («вакуумная стадия»). Уравнение (22.3.5) пока рассматривать не будем. Оно позволяет вычислить распределение и движение материи после того, как решение для уже найдено. Итак, рассмотрим уравнения (22.3.4), (22.3.6) без правых частей. Если в (22.3.6) пренебречь т. е. считать то решение (22.3.4), (22.3.6) будет обойденное казнеровское решение (22.3.1) — (22.3.3). Предположим, что на некотором интервале изменения решение (22.3.1) — (22.3.3) справедливо и можно пренебречь. Будем продолжать решение к сингулярности и определим границу применимости (22.3.1) — (22.3.3). Для этого мы в каждой точке трехмерного пространства будем проектировать все тензоры на направления векторов Для того чтобы решение (22.3.1) — (22.3.3) удовлетворяло уравнениям (22.3.4), (22.3.6), надо, чтобы диагональные проекции тензора Риччи были меньше остальных слагаемых в (22.3.6), а эти слагаемые имеют порядок Поэтому должны выполняться условия

Что касается недиагональных компонент, то, как показывает анализ [см. оригинальную работу Белинского, Лифшица, Халатникова (1972)], ими воообще можно пренебречь в главном порядке всегда при продолжении решения к сингулярности, если только ими можно было пренебречь в начальный момент. Итак, в главных порядках мы должны рассматривать четыре уравнения: для нулевой компоненты (22.3.4) и три диагональные проекции пп уравнений (22.3.6).

В диагональных проекциях тензоров Риччи есть члены вида

и такие же члены с круговой заменой вектора I наш и и соответствующих скалярных функций

В обобщенном казнеровском решении одна из функций о растет, а две другие падают, когда Пусть растущей будет а.

Подстановка (22.3.2), (22.3.3) в (22.3.8) показывает, что этот член А при уменьшении растет, как

Величина в скобках в показателе (22.3.9) больше 1, т. е. А растет быстрее 2 при Поэтому в некоторый момент член А сравняется с остальными членами уравнения (22.3.6), которые росли, как и применимость казнеровского решения нарушится. В эту эпоху надо учитывать влияние на решение члена А. Четыре уравнения: (которые только и важны в главных порядках) — теперь запишутся в виде

где точка означает дифференцирование по Эти уравнения совпадают с соответствующими уравнениями для модели типа IX Бианки (§ 4 гл. 21) для периода, когда одна казнеровская эпоха сменяется другой. Единственное отличие состоит в том, что в уравнениях есть функция пространственных координат. Однако для локальных свойств решения это не имеет значения. Поэтому смена «казнеровских эпох» происходит точно так же, как и в модели «перемешанного» мира. В итоге эволюция при приближении к нулю локально в каждой точке происходит качественно так же, как и в модели «перемешанного» мира, описанной в § 4 гл. 21.

Следует только добавить, что учет недиагональных проекций уравнения (22.3.6) (которые являются величинами следующего порядка малости) приводит к следующему выводу. При смене «казнеровских эпох» поворачиваются также направления векторов в каждой точке. Заметим, что такой же поворот имеется и в случае однородной модели типа IX, когда вещество движется относительно модели.

Итак, локально, в каждой точке пространства, в общем случае при приближении к сингулярности решение, описывающее метрику, имеет осциллирующий характер и изображено на рис. 57.

Для описания расширения от сингулярности надо изменить знак времени.

В заключение параграфа еще раз подчеркнем, что начало расширения Вселенной вовсе не обязательно описывалось общим решением. Об этом подробно говорилось в начале параграфа.