ГЛАВА 18. ПРОСТЕЙШИЕ АНИЗОТРОПНЫЕ КОСМОЛОГИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ

§ 1. Ньютоновская теория простейшего анизотропного однородного решения как предельный случай локальной задачи

Выше мы строили космологическое решение в изотропном и однородном случае, начиная с рассмотрения расширения конечного шара. Попытаемся построить анизотропное однородное космологическое решение, также исходя из рассмотрения задачи для конечного тела — трехосного эллипсоида с веществом постоянной плотности.

Будем рассматривать вещество без давления, Известно (см., например, ТТ и ЭЗ), что в ньютоновской теории добавление (к уже существующему эллипсоидальному распределению однородного вещества) новых слоев с сохранением подобия не меняет гравитационного поля внутри первоначального распределения.

Таким образом, если удастся найти решение для движения вещества однородного эллипсоида, которое все время переводит начальный однородный эллипсоид в однородный же эллипсоид (но другой формы, ориентации в пространстве и размера), то затем, добавляя неограниченно новые слои с сохранением подобия (что никак не сказывается на движении вещества во внутренних частях), мы получим космологическое решение однородное, но с анизотропной, вообще говоря, деформацией.

Рассмотрим однородное вещество, заполняющее трехосный эллипсоид.

Как известно [см., например, Сретенский (1946)], внутри эллипсоида гравитационный потенциал является квадратичной функцией координат:

причем коэффициенты не зависят от точки. Оси тензора совпадают с осями эллипсоида. Если выбрать координатные оси по осям эллипсоида то внутри его

В соответствии с уравнением Пуассона

но сами не равны между собой: их отношения зависят от отношения осей эллипсоида. Конкретное выражение этих функций через оси эллипсоида дается длинными интегралами, явный вид которых для нас сейчас неважен [см. Сретенский (1946)]. Величина (здесь нет суммирования по наибольшая для направления соответствующего самой короткой оси эллипсоида; например, в пределе для вытянутого эллипсоида с осью

а для тонкого диска

Корректная постановка задачи в ньютоновской теории заключается в следующем: задаемся в начальный момент плотностью и обобщенным хаббловским линейным [Нарликар полем скоростей (которое, как увидим далее, обеспечит нужные свойства решения):

Эта формула допускает, наряду с деформацией, наличие вращения при Зададимся также и уравнением эллипсоида ограничивающего область, заполненную веществом (внутри), от пустоты.

Выбор формы области в виде эллипсоида обеспечивает квадратичный вид потенциала что приводит к линейной зависимости ускорения от координат:

Отсюда следует, что зависимость скорости от координат остается с течением времени линейной: коэффициенты тензора зависят от времени, но не от координат. Уравнение для имеет вид

В свою очередь линейная зависимость скорости обеспечивает сохранение с течением времени однородности, поскольку не зависит от координат (по индексу произведено

суммирование). Кроме того, линейная зависимость скорости от координат приводит к тому, что поверхность, ограничивающая вещество, все время остается эллипсоидальной, хотя коэффициенты меняются с течением времени:

Следует подчеркнуть, что меняется не только ориентация осей в пространстве, но и форма эллипсоида, характеризуемая отношением его полуосей. Так, в частном случае, когда в начальный момент вещество покоится, через некоторое время плотность обратится в бесконечность за счет того, что обратится в нуль полуось, которая была наименьшей в начальный момент; две другие полуоси, уменьшаясь, останутся еще конечными, в этот момент эллипсоид выродится в плоскую фигуру. С другой стороны, предположим, что в начальный момент вещество заполняло шар, так что тензор был единичным, т. е. изотропным, Пусть, однако, начальное распределение скоростей анизотропно, т. е. тензор не единичен. Тогда с течением времени шар, деформируясь, превратится в эллипсоид, а значит, начальная изотропия естественно, нарушится.

Система уравнений становится замкнутой заданием зависимости от которая дается теорией потенциала [см. Сретенский (1946)]. Эта зависимость выражается, как известно, эллиптическими интегралами, при этом симметрична и положительно определена.

Мы не будем разбирать все свойства решения задачи, отсылая интересующихся к работе Зельдовича (19646). Остановимся, однако, на случае, который интересен с точки зрения приложений к космологической задаче получения однородного анизотропного решения.

Именно рассмотрим сначала случай, когда вращение отсутствует, т. е. тензор симметричен, главные его оси совпадают с осями эллипсоида. Кроме того, ограничимся сначала случаем осевой симметрии (эллипсоид вращения) и потребуем, чтобы в ходе расширения при очень больших размерах (соответственно форма эллипсоида приближалась к форме шара, т. е. наступала «изотропизация» и скорость расширения на бесконечности стремилась к нулю (случай критической плотности). Проще всего рассмотреть не задачу об анизотропном расширении, а обратную задачу о сжатии, а затем обратить время.

Пусть имеется большой шар, слабо деформированный в эллипсоид вращения. Возможны два случая: сплюснутый, как

репа, эллипсоид или вытянутый, как огурец. Вначале в обоих случаях

Рассмотрим первый случай, Как отмечено выше, ускорение по более короткой оси больше, Следовательно, с течением времени сплюснутость будет возрастать (рис. 53) и тело превратится в некоторый момент в плоский блин, Объемная плотность вещества в этот момент обращается в бесконечность. Гравитационная энергия блина (отрицательная) конечна. Конечным также является и гравитационное поле в любой точке, несмотря на Отсюда видно, что и скорость остается конечной.

Рис. 53. Сжатие в диск сплюснутого эллипсоида. На графике показано изменение со временем величин

Рис. 54. Сжатие в нить вытянутого эллипсоида. На графике изображено изменение со временем величин

Следовательно, асимптотический закон изменения величин с и с течением времени есть

Во втором случае Эллипсоид с течением времени становится все более узким (рис. 54), и при некотором превращается в отрезок нити, с конечно. Поле вблизи длинной нити возрастает неограниченно, как (расстояние от нити), следовательно, скорость в ньютоновской теории стремится к бесконечности:

где величина порядка

Перейдем теперь к рассмотрению общего случая, когда скорость сжатия различна по всем трем осям. Из предыдущего изложения ясен характер этого решения. Ускорение по самой короткой оси будет наибольшим, и тело превратится в некоторый момент в плоский эллипс, (а не круг, как было, когда Асимптотический закон (18.1.10), очевидно, будет справедлив и теперь.Таким образом, случай стягивания в нить в общей ньютоновской задаче является вырожденным, он требует одновременного обращения в нуль двух величин (а и Ь).

Наличие вращения при обобщенном хаббловском распределении скорости, т. е. случай, когда качественно не изменит результат и приведет лишь к тому, что оси эллипсоида будут поворачиваться в пространстве. Бесконечная плотность достигается за счет сжатия вдоль оси вращения.

Вернемся к случаю Теперь остается обратить время (т. е. рассматривать расширение), увеличить неограниченно (добавляя новые слои вещества) размеры эллипсоида в фиксированный момент при фиксированной плотности вещества, и мы получим решение ньютоновской космологической задачи.

Величины и с будут (вследствие однородности) характеризовать изменение расстояний между любыми парами точек соответственно по осям . В силу сказанного в начале параграфа переход от конечного эллипсоида к неограниченному распределению никак не изменит зависимости с и от времени.

Итак, мы получили однородную анизотропную модель в ньютоновской теории. Анализ более сложных АО моделей в ньютоновской теории см. Шикин (1970).