§ 5. Нуклеосинтез в теории горячей Вселенной

В данном параграфе рассматриваются ядерные реакции, от которых зависит химический состав дозвездного вещества. Мы рассматриваем эти процессы в зарядово-несимметричном мире, каковым, по нашему мнению, является (по крайней мере) наблюдаемая

часть Вселенной. В ходе космологического расширения после падения температуры ниже в плазме остаются только нуклоны (но не антинуклоны) в количестве от легких частиц. Нуклоны в дальнейшем вступают в ядерные реакции. Эти ядерные реакции заканчиваются, как мы увидим, примерно через 100 сек после начала расширения, при температуре в несколько десятков

После этого химический состав остается неизменным на всем протяжении расширения радиационно-доминированной плазмы и позже, после рекомбинации и образования нейтральных атомов. Из вещества указанного состава образуются звезды первого поколения — предположительно в момент или 5, т. е. уже близко к нашей эре.

Только в звездах после вторичного сжатия вещества до высокой плотности и температуры начинается новый этап ядерных реакций.

Первые попытки осмысливания химического состава Вселенной основывались на идее термодинамического равновесия. Отметим здесь пионерские работы Харкинса (1917), Толмена (1922), Покровского, Корсунского (1931), Сузуки (1931). Сама постановка вопроса об условиях образования элементов заслуживает высокой оценки. Эта идея представляла собой смелое применение в космологии достижений ядерной физики, понятий о взаимных превращениях.

Однако уже вскоре выяснилось, что нельзя подобрать такие плотность и температуру вещества, при которых наблюдаемый состав Вселенной был бы равновесным.

Гамову (1946) принадлежит заслуга эволюционной постановки задачи. В расширяющейся Вселенной существенна кинетика процессов.

Выше мы видели что поддержание равновесия имеет место для быстрых процессов. Почему ядерные реакции оказались медленными, почему для них существенна кинетика? Дело в том, что ядерные процессы состоят: а) из превращений нейтронов в протоны и обратно, что связано с испусканием и захватом лептонов и слабым взаимодействием; б) из бинарных реакций ядер типа п. Но эти реакции идут относительно медленно, так как мало отношение плотности барионов к плотности фотонов.

Как уже отмечалось в гл. 5, ранняя история проблемы нуклеосинтеза изобилует ошибками.

Первоначально Гамов предполагал, что нуклоны при очень большой плотности находились в состоянии нейтронов, а затем происходил их радиоактивный распад. В неопубликованной работе Ферми и Туркевича рассматривались ядерные реакции соединения нейтронов с прогонами и следующие за ними. Позже Хаяши (1950)

заметил, что при высокой температуре электроны, позитроны, нейтрино и антинейтрино горячей плазмы вызывают весьма быстрое превращение нейтронов в протоны и обратно по реакциям

Поэтому при высокой температуре, независимо от выбора начального состояния, устанавливается термодинамическое равновесие:

где есть разность масс нейтрона и протона конечно, нет никаких сложных ядер. Так, например, в момент сек, когда температура равна время установления равновесия порядка сек, равновесное соотношение При понижении температуры равновесная концентрация падает, но уменьшается и скорость процессов (7.5.1). Как и другие процессы, становящиеся медленными на некоторой стадии расширения (см. §§ 1—4), данный процесс распадается на две стадии: в первой стадии к концу этой стадии происходит закалка, т. е. реакции уже слишком медленны для поддержания равновесия; во второй стадии оставшиеся нейтроны медленно распадаются без участия плазмы с полупериодом 11 мин, известным из лабораторных опытов.

Приведем количественный расчет.

Расчеты Хаяши (1950) были чрезвычайно сложны, а предпосылки их не вполне соответствуют современным сведениям о нейтрино и бета-процессах. Существенное уточнение дано в работе Альфера и Хермана (1953). Эти расчеты были повторены Якубовым и изложены в работе Зельдовича (1965 г.). Концентрации удовлетворяют уравнениям

более поздние работы — см. Пиблс (1966а, б), Вагонер, Фаулер, Хойл (1967), Вагонер (1973), Ривс, Аудуз, Фаулер, Шрамм (1973). Коэффициенты а и , выражающие скорость протекания реакций,

зависят от температуры, но температура как функция времени известна. Количество нуклонов ничтожно по сравнению с количеством легких частиц в плазме, поэтому реакции не оказывают никакого обратного влияния на концентрации следовательно, не влияют на функции а и уравнения линейны.

При вычислении а и принимается во внимание принцип Паули. Движением протонов и нейтронов можно пренебречь. Распределения в импульсном пространстве даются известными выражениями статистики Ферми:

Здесь импульсы частиц (не путать с обозначением протона — Скорость реакции есть

где первый член — для второй — для Множители в квадратных скобках учитывают число вакансий в импульсном пространстве — реакция запрещена, если конечное состояние или уже занято. Дельта-функции учитывают закон сохранения энергии, только электроны и антинейтрино с достаточно большой энергией вызывают реакцию. Благодаря -функции шестикратный интеграл по сводится к пятикратному, и поэтому в пределе, когда рассматриваемые энергии намного больше, чем и интегралы пропорциональны Постоянная А пропорциональна квадрату константы слабого взаимодействия, ее можно выразить через вероятность распада свободного нейтрона. Всегда имеет место термодинамическое тождество (с учетом всех процессов)

При высокой температуре, т. е. малом

здесь

При низкой температуре

где вероятность распада свободного нейтрона. Пользуясь тождеством вместо двух уравнений (7.5.3) получим одно:

решение которого легко написать:

Введем теперь следующее обозначение:

причем при больших функция так как Асимптотическое выражение пп при имеет вид

где величина

имеет смысл концентрации нейтронов — после того, как произошла закалка. Кривые показаны на рис. 31.

Вычисленное таким образом значение по современным данным оказалось равным 0,165 и численно мало отличается от результата Хаяши (1950). Грубую оценку можно, конечно, сделать и без столь детальных расчетов, а используя тот же метод, к которому мы уже неоднократно прибегали в предыдущих параграфах для определения момента прекращения реакций взаимодействия. Действительно, реакции прекращаются и происходит закалка при условии

где время с начала расширения (6.2.3), длительность протекания реакции. В нашем случае, согласно (7.5.6),

Рис. 31. Концентрация нейтронов в горячей модели: кривая 1 — реальная концентрация, кривая 2 — равновесная концентрация.

Подставляя (7.5.12) и (6.2.3) в (7.5.11), находим температуру закалки. Коэффициент х берем это значение получается, если учитывать только известные сорта элементарных частиц и не предполагать существование гипотетических неизвестных частиц (см. об этом далее, в конце параграфа).

Рис. 32. Относительная распространенность химических элементов, синтезированных в начале космологического расширения. Параметром является сегодняшнее значение плотности вещества,

Тогда для температуры закалки получаем

Теперь, подставляя это в (7.5.2), находим на момент закалки:

или (используя тождество

в согласии с точным вычислением.

На следующей стадии процесса при сек происходит соединение нейтрона и протона в дейтон:

за которым следует цепочка термоядерных реакций:

в результате чего образуется

Ядро дейтерия представляет собой «энтропийный барьер» на пути образования При температуре выше равновесное содержание дейтерия ничтожно; это значит, что с образованием дейтерия успешно конкурирует фотораспад Процесс образования требует ряда двойных столкновений, поэтому

он представлен тем сильнее, чем выше плотность барионов при данной температуре, т. е. чем меньше удельная энтропия. При малой энтропии все нейтроны превращаются в следовательно, получится водорода. Мерой энтропии является отношение где плотность обычного вещества. На диаграмме рис. 32 приведены результаты расчетов Вагонера, Фаулера, Хойла (1967), пересмотренные Вагонером (1973), для температуры реликтового излучения и для разных значений сегодняшней плотности с учетом того, что истинное значение плотности известно ненадежно.

Рис. 33. Изменение вследствие ядерных реакций содержания протонов, нейтронов, дейтерия, гелия-4, гелия-3 и трития в расширяющейся горячей модели. Правая шкала — только для

При вычислении концентрации они учли, что образовавшиеся в ходе реакций путем -распада переходят соответственно в

Общая картина изменения с течением времени содержания и вследствие ядерных реакций в горячей модели при (т.е. дана на рис. 33 по расчетам Дорошкевича и Сюняева. Вопрос о фактическом содержании гелия и других легких элементов в дозвездном веществе разбирается в следующем параграфе.

Резюмируем ситуацию. Каковы посылки и возможные слабые пункты расчета? Прежде всего, ненадежно известна сегодняшняя плотность материи или обратно пропорциональная ей (опять же сегодняшняя) энтропия Величина практически не меняется со временем, возможная область изменения от Уравнение для слабого взаимодействия

и закалка не зависят от Последующие ядерные реакции зависят от но, к счастью, в интересующей нас области эта зависимость не очень существенна для основного продукта, и для остающегося водорода. Предсказываемые значения концентрации Количества очень сильно зависят от но они очень малы абсолютно. Вопрос о содержании их в небесных телах и о синтезе их в современный период изложен в следующем параграфе.

Резюме проведенного выше исследования ядерных реакций в космологии таково: очень грубо можно сказать, что почти все нейтроны, выжившие в результате первой стадии после закалки, переходят в ядра в период ядерного синтеза 30—300 сек; весовая концентрация в дозвездном веществе в первом приближении равна удвоенному весу нейтронов, оставшихся после закалки:

Напомним, что мы условились считать поэтому Подставив сюда значение полученное выше, находим

Это, по существу, максимальное количество гелия, которое может получиться. Действительное значение несколько меньше, но формула (7.5.18) достаточно хороша для приближенной оценки.

Таким образом, решающее влияние на исход ядерного синтеза имеет отношение на момент закалки. В какой степени устойчиво значение при изменении различных параметров модели? Выше отмечалось, что не зависит от так как уравнения (7.5.3) линейны, взаимодействием нейтронов и протонов между собой можно пренебречь при

Но зависит от скорости расширения плазмы, точнее, от скорости изменения температуры со временем. Это сразу видно из формулы (7.5.11), где слева стоит время от начала расширения, совпадающее с временем изменения параметров плазмы. Выше при определении температуры закалки мы использовали в качестве формулу (6.2.3) с коэффициентом Этот коэффициент зависит от числа сортов элементарных частиц, существующих в плазме к данному моменту. Коэффициент к учитывает только известные частицы. Шварцман (1969) указал, что предположение о сильном увеличении к меняет выводы о химическом составе

первичного вещества. Такое увеличение в принципе возможно, если имеется много неизвестных слабо (или сверхслабо) взаимодействующих (и потому неоткрытых) частиц. Такие частицы не могут иметь массу покоя, отличную от нуля. Действительно, в этом случае при расширении Вселенной отношение их плотности к плотности обычной материи не изменилось бы и их наличие сегодня в большом числе означало бы сильное превышение средней плотности этих частиц над плотностью известных форм материи, а это невозможно (см. обсуждение вопроса о массе мюонных нейтрино в сноске на стр. 183).

Но безмассовые частицы (типа нейтрино или гравитонов) не могут быть исключены таким рассуждением (см. далее). Подчеркнем еще раз, что гипотетические частицы не участвуют прямо в реакциях, приводящих к синтезу элементов, а влияют на них косвенно, меняя динамику расширения плазмы. Для оценки влияния этих частиц на исход ядерных реакций воспользуемся формулами (7.5.11) и (7.5.18). Обозначим через отношение общей плотности материи, включая плотность неизвестных частиц, к плотности известных частиц в термодинамическом равновесии:

где значение х для известных частиц. С помощью (6.2.3) находим

и из (7.5.12), (7.5.11) и (7.5.21) получаем

Рис. 34. Количество синтезированного гелия в зависимости от количества неизвестных слабовзаимодействующих частнц.

Кривая на рис. 34 показывает в зависимости от Значение невозможно, так как это дает что заведомо исключается наблюдениями.

Подчеркнем, что приведенные рассуждения дают гораздо более сильные ограничения на чем сравнение постоянной Хаббла для

сегодняшнего дня с возрастом Земли. Последняя оценка приводит лишь к неравенству [Зельдович, Смородинский (1961)].

Итак, изменение параметра к приводит к изменению На это же значение может сильно влиять возможный избыток электронных нейтрино или антинейтрино. На это обратил внимание Фаулер (1970). До сих пор мы предполагали отсутствие лептонного заряда и считали количество нейтрино равным количеству антинейтрино. Если отказаться от такого требования, то на стадии закалки избыток электронных нейтрино или антинейтрино приведет через реакции (7.5.1) к изменению равновесной концентрации нейтронов и протонов, изменится формула (7.5.2).

Рис. 35. Количество синтезированного гелня в зависимости от удельного лептонного заряда Вселенной.

Вторичным эффектом является влияние наличия избытка частиц на динамику расширения и, следовательно, на момент закалки, что было рассмотрено выше.

В ходе космологического расширения химический потенциал нейтрино изменяется, как температура. Обозначим Тогда приблизительно справедливы соотношения

для отношения имеем

Вместо формулы (7.5.2) теперь имеем

вместо (7.5.14)

Таким образом, зависит, вообще говоря, и от х и от причем если то будет меньше 30% при любом

На рис. 35 показана зависимость от удельного лептонного заряда для т. е. Сильный избыток антинейтрино ведет к и противоречит наблюдениям, сильный избыток нейтрино ведет к

Предположение ведет к наличию избытка нейтрино или антинейтрино и для сегодняшнего дня, но избыток, достаточный для существенного изменения конечно, еще слишком мал для обнаружения его какими-либо сегодняшними средствами.