§ 3. Адиабатические возмущения, акустические колебания и влияние их на спектр РИ

В связи с теорией образования галактик было выяснено, что необходимая амплитуда возмущений до рекомбинации порядка

Эта амплитуда относится к возмущениям, длина волны которых соответствует массе порядка Возмущения меньшей длины волны затухают в РД-плазме вследствие фотонной вязкости и теплопроводности.

Вопрос, который рассматривается ниже, заключается в том, можно ли обнаружить эти коротковолновые возмущения косвенно, по искажениям спектра реликтового излучения.

Как было выяснено раньше (см. гл. 8), с современной методикой наблюдений можно обнаружить выделение энергии порядка при и порядка 100% при Но энергия колебаний равна удвоенной кинетической энергии. По порядку величины плотность энергии колебаний есть

Амплитуда акустических волн вблизи порога затухания даст т. е. весьма малую величину.

Эффект обнаружимого искажения спектра возможен лишь в том случае, если амплитуда коротковолновых возмущений велика — порядка для возмущений, затухающих при и 1 для возмущений, затухающих при

В линейной теории возмущений затухание в первом (ближайшем к нам) интервале имеет место для возмущений с а во втором интервале для Однако именно потому, что ограничения на амплитуду очень слабые, амплитуда может быть значительной, и линейная теория затухания возмущений оказывается неприменимой.

Какие ограничения на возмущения можно сделать априори, не опираясь на исследования спектра реликтового излучения?

Возмущения плотности связаны с возмущениями метрики. По порядку величины возмущения метрики в момент, когда линейный размер возмущения равен равны возмущениям плотности в акустическом периоде, когда амплитуда возмущений метрики не нарастает,

Возмущения метрики порядка единицы исключаются с большой уверенностью. В самом деле, такие возмущения могут приводить к появлению отдельных коллапсирующих плазменных образований. При 1 общая плотность таких «черных дыр»

космологического происхождения была бы сегодня огромной. Надо учесть, пои раннем коллапсе, на РД-стадии, фотоны давали бы подавляющий вклад в массу таких объектов, предсказываемых общей теорией относительности («отонов»). Общая плотность отонов была бы больше плотности обычного вещества даже в том случае, когда лишь в малой части пространства происходит коллапс и образование отонов Зельдович, Новиков (19676, 1971), Хоукинг, Карр (1973)].

Итак, с уверенностью можно требовать

Другое ограничение на амплитуду акустических волн возникает по более прозаической причине, и оно, по-видимому, более действенно. Акустические колебания рассматривались выше в линейной теории, справедливой для малой амплитуды. Предполагалось, что амплитуда остается постоянной на протяжении длительного времени, от момента начала акустических колебаний до момента начала диссипации (§ 2 гл. 10). За это время волны малого масштаба — с малой длиной волны и малым периодом — успевают совершить много колебаний. Становятся существенными нелинейные эффекты: превращение синусоидальных волн в ударные [Пиблс (1970)], генерация высших гармоник. Оба эффекта неразрывно связаны между собой. Последовательное и строгое рассмотрение эволюции «акустической турбулентности», совокупности случайных акустических волн дано в работе Захарова и Сагдеева (1970).

Задачу легко решить для упрощенной модели — одномерного движения без учета космологического расширения.

Скорость распространения малого возмущения относительно неподвижной системы равна [см. Ландау и Лифшиц (1953)]

где невозмущенная скорость звука, — безразмерные коэффициенты порядка единицы. Синусоидальная волна превратится в пилообразную за то время, когда расстояние между вершиной и впадиной волны (т. е. половина длины волны) будет преодолено за счет различия скоростей распространения, где время порядка На следующем этапе распространение пилообразной волны сопровождается Диссипацией акустической волны:

Здесь есть скорость диссипации энергии на единице поверхности ударной волны при амплитуде изменения скорости и в ударной волне. Это уравнение (в котором систематически опускались численные множители порядка единицы) легко интегрируется. Ответ имеет вид

Таким образом, по истечении определенного числа колебаний безразмерная амплитуда должна быть меньше независимо от начальной амплитуды — таков результат нелинейной теории. Время возникновения ударной волны из гладкой (например, синусоидальной) порядка и соответствует времени падения амплитуды вдвое; учет периода установления в пределе не меняет результат, относящийся к большой общей длительности процесса.

Какие изменения вносит отказ от упрощенной модели? При учете общего космологического расширения нужно иметь в виду изменение длины волны и частоты вместо произведения будет интеграл На нижнем пределе как раз так. что

Здесь величину z выбираем порядка 106 в соответствии с моментом, начиная с которого наступают искажения спектра. Труднее учесть тот факт, что волны распространяются во всех направлениях. Рассмотрение нужно вести на языке генерации гармоник при нелинейном взаимодействии волн.

Эффективное взаимодействие возникает лишь для волн, длительно действующих вместе с постоянным соотношением фаз. Проекция скорости одной волны на направление другой равна где угол между волновыми векторами. Потребуем, чтобы обе поправки, , были одного порядка, чтобы изменение скорости волны компенсировало наклон 0. Отсюда получим эффективный угол, при котором происходит взаимодействие:

И соответствующий телесный угол составляет следующую долю от полного:

В другом варианте теории эта доля равна

Соответственно для перекачки энергии в высшие гармоники получим

где или 2. Решение этого уравнения (опять-таки с опущенным численным множителем) есть

Выпишем максимальную долю энергии, которая может пойти на искажение спектра (уцелев после более ранкего периода нелинейного затухания) при или При для для при для Если же то при при том же соответственно при

Итак, вывод заключается в том, что с учетом нелинейного затухания акустических колебаний искажения спектра реликтового излучения порядка нескольких процентов могли бы дать лишь волны масштаба от до при достаточно большой (больше начальной амплитуде. Волны меньшего масштаба при любой начальной амплитуде из-за нелинейных эффектов ослабляются в раннем периоде. К тому же амплитуды возмущений порядка единицы исключены, так как они привели бы к образованию отонов.

Уже отмечалось, что адиабатическую теорию возмущений можно рассматривать на всем протяжении эволюции Вселенной от сингулярного состояния. При этом достаточно задать в сингулярном состоянии конечные флуктуации метрики, а флуктуации плотности могут быть выбраны равными нулю при

Спектр флуктуаций метрики может быть выбран плоским [Гаррисон (1970а). Зельдович (1973а)], с амплитудой возмущений метрики порядка на всех длинах волн. При этом возмущения спектра соответствуют выделению энергии порядка где есть интервал масс таких, что соответствующие возмущения затухают в «чувствительном» периоде

эволюции, между Для получим Но даже такой большой логарифмический множитель не может компенсировать малость исходных возмущений метрики, входящих в квадрате. Получается что на один-два порядка меньше предела чувствительности возмущений спектра.

В целом адиабатическая теория образования галактик вполне согласуется с отсутствием искажений спектра реликтового излучения.