§ 2. Классификация возмущений

Решение уравнений (11.1.4) — (11.1.7) для плоских волн возмущения ищем в следующем виде. Сначала по уравнениям (11.1.4), (11.1.5) находим а затем уже элементарными вычислениями по (11.1.6) и (11.1.7) находим и .

Возмущения рассматриваются на фоне пространственно-однородной и изотропной, но эволюционирующей Вселенной. Следовательно, решения, относящиеся к «элементарным», «собственным», «фундаментальным» возмущениям (на которые раскладываются произвольные возмущения), должны обладать инвариантностью относительно тех преобразований, относительно которых тождественно инвариантно невозмущенное решение.

Одно преобразование, вытекающее из однородности пространства, есть сдвиг пространственных координат. В нерелятивистской

теории было выяснено, что это требование приводит к зависимости решения от координат вида Таким образом, решение зависит от одного трехмерного вектора к.

Теперь учтем, что в ОТО «решением» является тензор второго ранга в трехмерном пространстве,

Изотропия означает существование группы вращения в трехмерном пространстве. Коэффициенты перед экспонентой и волновой вектор могут быть использованы для построения тензора второго ранга в трехмерном пространстве — тензора возмущений

Следуя Лифшицу, мы введем сначала скаляр который приводит к тензору следующим путем. Из можно составить тензор двумя способами:

Умножив каждый из тензоров на множитель, зависящий от и сложив их, получим тензор

Заметим, что из такого тензора можно составить и вектор и скаляр

Опять же следуя Лифшицу, введем вектор Чтобы этот случай не свелся к предыдущему, надо, чтобы из этого вектбра нельзя было построить скаляр. Для этого мы потребуем, чтобы Следовательно, для данного к имеются две степени свободы (две независимые компоненты

С помощью векторов и к можно построить тензор

Умножая на множитель, зависящий от времени, получим наконец, введем тензор второго ранга

Так как мы хотим, чтобы с помощью этого тензора и вектора к нельзя было бы построить ни вектора, ни скаляра (иначе получим один из предыдущих случаев), то мы должны потребовать, чтобы

Напомним, что величины являются соответственно скалярами, векторами и тензорами лишь в трехмерном пространстве.

Ниже будет показано, что скаляр описывает возмущения скалярной величины — плотности вещества и соответствующие движения вещества, т. е. адиабатические возмущения и, в частности, звуковые волны.

Вектор описывает возмущение скорости, но ему не соответствует скаляр. Это значит, что поле скорости является вихревым иначе при условии конечности и получим Наконец, тензор (11.2.3) описывает ортогональные к возмущения метрики (без возмущений скорости и плотности), чему соответствуют распространяющиеся по Вселенной гравитационные волны.

Ниже мы подробно останавливаемся на каждом типе возмущений. Лифшиц (1946) рассматривает также возмущения замкнутой и гиперболической Вселенной. Однако для возмущений, масштаб которых меньше радиуса мира на сегодняшний момент), отличия малы. Крайний случай возмущения мира как целого обсуждается в разделе IV. Мы продолжим рассмотрение возмущений в плоской модели.