§ 19. Сингулярность и конформная инвариантность

В настоящее время для исследования сингулярностей часто используют конформное преобразование [см., например, Пенроуз (1968)]. Пусть с помощью конформного преобразования удается сопоставить данному сингулярному четырехмерию, данному миру (прототипу), другой несингулярный мир (эталон). Распространение волн в эталонном мире может быть рассмотрено без принципиальных трудностей. После этого распространение волн в прототипе находим по законам конформного преобразования. Особенно прост тот случай, когда эталоном является плоский мир с метрикой Минковского. Для этого нужно, чтобы прототип был конформно-плоским (равен нулю тензор кривизны Вейля, но не равен нулю тензор кривизны Римана

Подразумевается; что волны, распространение которых рассматривается, подчиняются конформно-инвариантным волновым уравнениям; этим свойством обладают, в частности, электромагнитные волны (но не гравитационные волны, см. предыдущий параграф).

Примером конформно-плоского мира является фридмановская Вселенная; вблизи сингулярности для всех физических процессов пространственная кривизна ее несущественна, поэтому записываем метрику в следующем виде:

Последнее равенство демонстрирует, что эталоном модели Фридмана является мир Минковского. При мир заполнен в основном фотонами и нейтрино, т. е. частицами с массой покоя, равной нулю, которые описываются конформно-инвариантными уравнениями. При больших z появляются сперва позитронно-электронные пары, а затем адроны (в том числе барионы и антибарионы), с отличной от нуля массой покоя Однако при приближении к сингулярности отношение массы покоя к средней энергии частиц становится все меньше. Для частиц (полей) с конформной

инвариантности нет, но вблизи сингулярности можно говорить о приближенной, асимптотической конформной инвариантности.

В этом приближении Хойл и Нарликар (1963) рассматривают в качестве прототипа Вселенную вблизи сингулярности, заполненную всеми видами частиц (фотонами, нейтрино, адронами). При эти частицы в совокупности представляют собой ультрарелятивистскую плазму с температурой, стремящейся к бесконечности при приближении к сингулярности. Эталон получается конформным преобразованием. Он представляет собой пространство Минковского, заполненное релятивистской плазмой, состоящей из безмассовых частиц — фотонов, нейтрино, но также и безмассовых электронов и позитронов, безмассовых протонов и т. п.

Речь идет о выдуманных, несуществующих частицах, все свойства которых — заряд, спин, закон взаимодействия — совпадают со свойствами истинного электрона или протона, за исключением того, что у каждой выдуманной частицы Температура этой плазмы может быть выбрана любой: ведь у нас нет величины с которой можно было бы сравнивать

Взаимодействие частиц — электромагнитное, сильное и слабое — не нарушает конформной инвариантности плазмы в целом. Ее уравнение состояния как в эталоне, так и в прототипе (в последнем — вблизи сингулярности).

В неизменном мире Минковского стационарная плазма с постоянной температурой проходит через поверхность без какой-либо особенности.

Хойл и Нарликар полагают, что, возвращаясь от эталона к прототипу, можно получить, таким образом, описание перехода от сжатия к расширению, от в космологической модели Фридмана. Рассматривая такую возможность, заметим прежде всего следующее. Выпишем уравнение, связывающее в прототипе. В мире, заполненном релятивистской плазмой, выполняются следующие соотношения:

Но отсюда следует, что обе части эталона, соответствуют одинаковому знаку истинного мирового времени

Поставленная задача описания прохождения через сингулярность не решается в данном случае привлечением конформной инвариантности.

Другое замечание, касающееся гипотезы Хойла и Нарликара, заключается в том, что гравитационное взаимодействие даже для безмассовых частиц не является конформно-инвариантным, подобно тому как не конформно-инвариантны уравнения для гравитонов.

В трактовке гравитационного взаимодействия частиц есть тонкости. Коллективное взаимодействие частиц учтено законом эволюции Таким образом, в уравнении состояния остается учесть так называемое обменное взаимодействие — поправку, связанную с тем, что между положениями одинаковых частиц есть корреляция, усредненный гравитационный потенциал и усредненная метрика не полностью описывают взаимодействие. По мнению Сахарова (1966), при этом возникает максимум температуры, резко меняется уравнение состояния. Эффекты становятся порядка единицы тогда, когда температура порядка «планковской», , что, в свою очередь, происходит при сек.

Итак, снова — хотя и по другой причине — характерное планковское время, отсчитанное от сингулярности, оказывается тем барьером, за который не удается проникнуть без существенно новых идей. Идея конформной инвариантности, справедливая для всех полей при кроме гравитационного, позволяет продвинуться в исследовании интервала но для преодоления барьера сек эта идея недостаточна.

Рассмотрим в свете идей конформной инвариантности связь гравитации с другими полями. Основная идея теории тяготения Эйнштейна состоит в том, что пространство и время образуют четырехмерное искривленное многообразие (см. ТТ и ЭЗ, § 2 гл. 1). Свободные частицы движутся в этом многообразии по геодезическим линиям. Исходя из этого находятся траектории частиц в кривом пространстве-времени и воздействие кривизны пространства-времени на другие поля и частицы (электромагнитное поле, электрон-позитроны, нейтрино и т. д.). Это воздействие включает рождение частиц в пространстве, метрика которого зависит от времени, и поляризацию вакуума — появление отличной от нуля плотности энергии и импульса, зависящих от кривизны. Другая сторона теории тяготения состоит в том, что самому пространству-времени приписывается определенная «упругость». Качественная идея восходит к Клиффорду: если пространство, в принципе, может быть искривленным, то должен быть фактор — упругость, — благодаря которому фактически пространство с хорошей точностью остается плоским в масштабах Земли, Солнечной системы, Галактики. Идее упругости соответствует член в лагранжиане, введенный Эйнштейном. Именно этот член при варьировании дает левую часть Уравнений Эйнштейна, правая часть которых есть плотность энергии и импульса реального вещества.

В книге ТТ и ЭЗ была изложена идея Сахарова (1967 б), согласно которой упругость пространства зависит от поляризации вакуума. С этой точки зрения теория тяготения, в принципе, не может существовать без учета других полей хотя практически

суммарный вклад этих полей выражается в величине гравитационной постоянной

Выше вкратце изложена ситуация на 1971 г. [см. ТТ и ЭЗ, Мизнер, Торн, Уилер (1973)]. Новые моменты, радикально меняющие картину, появляются при учете конформной инвариантности полей, описывающих по-видимому, и адроны. Из конформной инвариантности следует, что вклад перечисленных полей и частиц в упругость вакуума пренебрежимо мал, порядка

Или

где предельный импульс. Частицы с нулевой массой покоя и вовсе ничего не дают. Такой вывод следует сразу из того, что в конформно-плоском пространстве нет поляризации вакуума (при хотя Однако из списка частиц надо изъять гравитоны (см. § 18 этой главы): уравнение, описывающее гравитационные волны (и их кванты — гравитоны), не конформно-инвариантно.

Таким образом, в принципе возможна (хотя и не построена в настоящее время) теория, где рассматривается одно только пространство-время и получаются содержательные результаты, описывающие гравитоны и искривленное их тяготением фоновое пространство-время, в котором они распространяются, т. е. получается замкнутая картина для гравитонов без привлечения других полей и частиц.

Исходным пунктом такой теории являются коммутационные соотношения для величин, описывающих метрику. При обычной нормировке гравитационных волн эти соотношения имеют (символически) вид

В результате учета этих коммутационных соотношений для коротковолновых возмущений метрики должен (во всяком случае может) получиться вклад в лагранжиан вида

В квантовую теорию входит

т. е. входит величина (в экспоненте)

В коммутационные соотношения для метрики входит произведение

(но не в отдельности или в других степенях), и это же произведение вошло в выражение волновой функции всей системы. Тем самым подтверждается внутренняя логическая замкнутость рассматриваемого построения. При этом «замкнутость» теории не исключает, конечно, возможности рассмотрения в теории других частиц и полей (что потребует и новых констант). Утверждается лишь, что распространение гравитационных волн и вызываемое ими общее плавное искривление пространства могут быть полностью поняты и описаны, включая квантовые эффекты, в теории с двумя размерными величинами, и без привлечения других полей и частиц.

В настоящее время предпринимаются настойчивые попытки объединения теорий электромагнетизма и слабого взаимодействия, в близкой перспективе — их объединение с теорией адронов. Поэтому особенно важно выяснение принципиальных вопросов связи разных полей.