§ 2. Дифференциальный критерий однородности

В литературе встречается критерий однородности, отличный от группового. Он был предложен Зельмановым (19596) и получил название дифференциального. Согласно этому критерию, модель считается однородной, если трехмерные ковариантные производные от всех скалярных, векторных и тензорных полей по всем пространственным координатам равны нулю.

На первый взгляд этот критерий кажется столь же естественным, как и групповой критерий. Однако дифференциальный критерии накладывает на модели более жесткие требования, чем групповой. Действительно, этот критерий требует, чтобы свойства Вселенной были не только одинаковы в разных точках трехмерного пространства в один и тот же момент времени, но и чтобы при переходе от одной точки трехмерного пространства к другой (в фиксированный момент времени) ориентация векторных и тензорных полей не менялась.

Для пояснения различия между двумя критериями мы приведем пример, который является упрощением примера из работы Грищука (1971).

Пусть в плоском трехмерном пространстве имеется неизменный во времени поток пробных частиц (не создающих поле тяготения). Зададим скорости частиц в декартовой системе координат формулами

Здесь постоянные. По абсолютной величине скорость везде одинакова. Векторы скорости лежат в плоскостях в каждой плоскости скорость не зависит от координат х, у. При переходе от одного сечения к другому вектор скорости поворачивается, меняется его ориентация. Согласно дифференциальному критерию, эта модель неоднородна, так как производная от вектора скорости по -координате отлична от нуля (вектор поворачивается). Согласно групповому критерию, эта модель однородна, ее можно сдвигать в трехмерном пространстве так, чтобы поле скоростей переходило само в себя и каждую точку можно было совместить с каждой. Модель можно сдвигать параллельно вдоль осей х и у, а также вдоль оси z, поворачивая при этом вокруг оси z на угол Такая группа движений принадлежит к типу VII по классификации Бианки.

На этом примере наглядно видно различие между критериями.

Подчеркнем, что иногда в нерелятивистской механике поле векторов или тензоров в плоском пространстве называют однородным только в том случае, если производные от компонент тензора по декартовым координатам равны нулю, т. е. когда выполняется

дифференциальный критерий. Нас интересует одинаковость свойств всех точек пространства, а не то, поворачиваются ли векторы и тензоры при переходе из одной точки в другую точку трехмерного пространства.

В приведенном выше примере свойства всех точек пространства явно одинаковы и модель следует считать однородной. Мы поэтому будем в дальнейшем понимать под однородностью однородность в групповом смысле, если не делается специальных оговорок.

Что касается моделей, удовлетворяющих дифференциальному критерию, то Грищук показал, что все такие модели должны быть либо изотропными моделями Фридмана, либо анизотропными моделями с плоским пространством вида (21.1.8), либо моделями вида (21.1.9), либо, наконец, моделями, пространство которых является произведением псевдосферы на прямую, т. е.

Эта модель содержится как частный случай в типе III моделей по классификации Бианки. Таким образом, класс дифференциально однородных моделей уже класса моделей с групповой однородностью, причем все дифференциальные модели однородны и в групповом смысле, если понимать последний так, как это сформулировано в конце предыдущего параграфа.

В заключение параграфа вернемся к примеру векторного поля (21.2.1) в плоском пространстве. Этот пример методически интересен еще и тем, что наглядно демонстрирует, как в одном и том же пространстве (в данном случае в трехмерном плоском) разное задание векторных полей (в данном случае поля скоростей пробных частиц) может приводить к тому, что они будут относиться к разным типам Бианки. Модель с полем (21.2.1) относится, как уже отмечалось, к типу VII; так как при сдвиге по оси все пространство надо поворачивать на угол Если же в трехмерном пространстве задать поле скоростей, везде одинаковых и параллельных между собой, то модель будет относиться к типу Таким образом, для Классификации важны не только геометрические свойства пространства, но, вообще говоря, и свойства всех рассматриваемых векторных и тензорных полей.