§ 11. Кинетическое уравнение для фотонов

До сих пор для расчета наблюдаемых величин мы рассматривали распространение света от отдельных источников к наблюдателю. Однако для многих целей важно знать среднюю плотность излучения в пространстве от всех источников и его спектральное распределение. Речь идет о средней плотности излучения вдали от отдельных источников.

К вопросу о средней плотности излучения от отдельных источников можно подойти совсем иначе, не рассматривая распространение света от них к наблюдателю. В однородной и изотропной Вселенной излучение также должно быть в среднем однородным и изотропным. Следовательно, его можно характеризовать функцией двух переменных — частоты и времени Число квантов в данном интервале частоты в единице объема есть

соответственно плотность энергии, приходящейся на

В изотропном поле излучения обмен квантами между соседними объемами, очевидно, ничего не меняет, поскольку их спектр и плотность в любом месте одинаковы. Следовательно, возможен локальный подход к вычислению функции

Составим дифференциальное уравнение в частных производных для Это уравнение является частным случаем кинетического уравнения для функции распределения частиц по координатам и скоростям (или импульсам). Такое уравнение оказывается весьма сложным в общем случае с учетом кривизны пространства и времени, а также влияния рассеяния, поглощения и испускания рассматриваемых частиц. Однако уравнение и его вывод становятся простыми для частного случая, когда метрика пространства-времени соответствует однородной и изотропной модели и частицы (в данном случае фотоны) также распределены в пространстве однородно, а в каждой точке скорости их изотропно распределены по направлениям. Из общих соображений ясно, что если в какой-то момент распределение обладает этими свойствами, то они не нарушатся и позже, так что все

время можно рассматривать функцию двух переменных вместо функции семи переменных или

Далее, очевидно, что в изотропном случае рассеяние без изменения частоты не входит в уравнение. Пренебрежем сначала также поглощением и испусканием фотонов и будем учитывать только красное смещение.

Рассмотрим группу фотонов, находящихся в сопутствующем объеме V в интервале частот

В ходе расширения число остается неизменным, если нет ни поглощения, ни испускания. Однако мыдолжны учесть изменение У и со. По общим правилам дифференциального исчисления имеем

При этом

Подставляя, получим уравнение

или

Это уравнение упрощается, если ввести число заполнения фотонов Число заполнения определяется как отношение числа фотонов в данном элементе объема и интервале частоты (в общем случае — и в элементе телесного угла к числу отдельных собственных колебаний (их называют модами) электромагнитного поля. Число таких мод есть

В избранном случае, интегрируя по имеем

Итак, число заполнения в изотропном случае определяется как

Каждую моду электромагнитных колебаний можно рассматривать как отдельный резонатор. При этом есть номер возбужденного состояния этого резонатора; энергия резонатора может изменяться на целые кванты число заполнения соответствует энергии

Отметим (это недостаточно хорошо известно астрономам), что число играет огромную роль во всей физике излучения: индуцированное (стимулированное) излучение в лазере отличается от спонтанного излучения множителем . В термодинамически равновесном излучении

(формула Планка). При сплошном спектре статистически распределено по соседним модам и мы в действительности везде подразумеваем среднее значение

В ходе медленного расширения следует ожидать, что сохраняется как адиабатический инвариант. И действительно, если в уравнение (3.11.3) подставить из получим

где берется вдоль характеристики, т. е. при условии

Итак, макроскопическое кинетическое уравнение согласуется с квантовыми представлениями о числе фотонов на моду и о номере квантового состояния, сохраняющихся в ходе расширения.

Вернемся к уравнению для Добавляя в (3.11.3) вклад источников получим

Уравнение для спектральной плотности [см. формулу (3.11.2)] получим отсюда элементарной выкладкой:

Здесь число квантов и энергия втих квантов, испускаемых звездами, находящимися в единице

объема, за единицу времени и в единице частоты. По существу, ясно, что уравнение в частных производных (3.11.7) и метод сложения света, приходящего из разных слоев, равноценны и эквивалентны. Локальный подход, т. е. уравнение (3.11.7), полезен для выяснения общих свойств решения задачи о средней плотности излучения. Так, например, сразу видно, что рассеяние света (без поглощения и без изменения частоты) никак не влияет на спектр — изотропное поле излучения после рассеяния остается изотропным.

Для общей плотности энергии получим, интегрируя (3.11.7) по уравнение

где

Из уравнения (3.11.7) видно, что к данному решению этого уравнения с источниками света [т. е. с членом ] всегда можно прибавить решение однородного уравнения (без т. е. без источников). Таким решением является, в частности, планковское распределение

с температурой зависящей от времени по закону

Это утверждение легко проверить подстановкой (3.11.9) в (3.11.7) при Такой планковский спектр, полностью равновесный, с коэффициентом дилюции, равным 1, и с наблюдается в настоящее время как следствие высокой температуры вещества на ранних этапах расширения (см. раздел II). Грубую оценку плотности энергии одних источников излучения без учета излучения горячей модели можно получить из уравнения (3.11.8), полагая, что решение является квазистационарным, т. е. пренебрегая членом с

Получим

Аналогично в уравнении для спектральной плотности самое грубое приближение состоит в вычеркивании Получим

Можно уточнить спектр: пренебрегая но оставляя член получим

В стационарном приближении легко также построить решение при наличии в межгалактическом пространстве пыли, поглощающей свет звезд, нагревающейся при этом и испускающей свой тепловой спектр. Здесь, однако, мы на этом не останавливаемся.

Линейное дифференциальное уравнение для плотности излучения

может быть решено точно. Ответ можно записать в виде квадратуры (определенного интеграла) при заданной функции При этом функция сама войдет в ответ линейно, что отвечает физическому смыслу задачи: плотность излучения в данный момент является суммой вкладов излучения за каждый малый интервал времени от до где Каждый такой вклад преобразуется в ходе расширения от момента до момента

Если выделить таким образом вклад источника за конечное время от до то нужно еще добавить вклад плотности энергии, которая уже имелась в момент Легко проверить, что выражение

соответствующее этим идеям, действительно точно удовлетворяет уравнению. Для четкости переменные интегрирования и пределы обозначены разными буквами .

Экспоненты с интегралами имеют очень простой смысл. Так как где а есть радиус мира, то

Плотность энергии, испущенной в момент за время от до падает, как четвертая степень радиуса или как где V — объем, в полном соответствии с термодинамикой излучения. Отношение радиусов в моменты связано с величиной красного смещения:

Удобно перейти к А или в качестве переменной интегрирования. При этом воспользуемся выражением (3.3.35), связывающим дифференциалы или Получим

Напомним, что есть мгновенная мощность излучения в единице физического пространства. Если же ввести мощность излучения, отнесенную к единице массы то нужно будет учесть, что а также

т. е.

Иногда вводят еще мощность излучения, отнесенную к единице сопутствующего пространства, причем определяют эту единицу так, чтобы она к настоящему времени совпадала с физической единицей объема

Очевидно, что Соответственно

Предположение о том, что зависят непосредственно именно от z или а не от и эта зависимость выражается простыми формулами, является вполне естественным, так как и А прямо связаны с плотностью вещества во Вселенной, Так, например, в наиболее простом предположении об отсутствии эволюции считают . В этом случае интеграл сходится, даже если распространить его до горизонта Именно это имеют в виду, когда говорят, что в теории расширяющейся Вселенной нет фотометрического парадокса [см., например, Ландау, Лифшиц (1973)].

Рассмотрим другой пример. Пусть Метагалактика заполнена ионизованной плазмой. Мощность ее излучения где температура. При постоянной температуре интеграл расходится у горизонта.

В горячей модели Вселенной как раз и предполагается, что на ранней, дозвездной стадии вещество находится в состоянии полностью ионизованной, однородно распределенной плазмы. При этом определенная плотность излучения получается, очевидно, за счет того, что при высокой плотности имеет место термодинамическое равновесие между плазмой и излучением. Это значит, что излучение уравновешено поглощением света, которое не учитывалось выше. Впоследствии вещество стало нейтральным, оно перестало взаимодействовать со светом (см. следующий раздел), фотонный «газ» расширяется без взаимодействия с веществом. Вклад в среднюю плотность излучения от этой ранней стадии как раз и представляет собой планковский спектр, соответствующий о нем подробно говорится в следующем разделе.

Рассеяние, как уже отмечалось, не играет роли, если при этом не меняется частота и энергия света.

Для спектральной плотности имеет место уравнение (3.11.7) в частных производных. Это уравнение можно решить тем же методом, переходя к А или z в качестве переменной [Дорошкевич, Новиков (1964)]. В формальной теории закон изменения частоты в ходе красного смещения дает уравнение характеристик для уравнения в частных производных.

Решение для было приведено выше [см. (3.8.3)] в связи с конкретным анализом спектра в области радиочастот. Там было показано, как с помощью может быть записана в удобном виде оптическая толща для рассеяния света [см. (3.8.1)]. В этом же параграфе

(§ 8) говорилось также о способе расчета средней плотности излучения. Обзор наблюдательных данных, а также некоторые конкретные результаты расчетов, выполненных с использованием формул данного параграфа, приведены в §§ 2 и 3 гл. 5.