§ 6. Математическая теория рождения частиц

Данный параграф ориентирован на читателя, интересующегося также и методической стороной теории. Все общефизические соображения изложены ранее, в § 4; читатель, интересующийся только результатами и общими идеями теории, без ущерба может пропустить нижеследующее, В изложении следуем работе Зельдовича и Старобинского (1971),

Пусть мы имеем пространственно-плоскую однородную метрику вида

где с как функции в задаче о рождении частиц считаем произвольными. В этой метрике рассмотрим скалярное безмассовое поле, удовлетворяющее конформно-инвариантному уравнению

что соответствует лагранжиану

О происхождении и роли добавки где скалярная кривизна, см. работы Пенроуза (1964), Тагирова и Черникова (1968), в которых показано, как эта добавка обеспечивает конформную инвариантность.

Заметим, что простейшие волновые уравнения для поля со спином (нейтринное поле) и для векторного поля (уравнения Максвелла) являются конформно-инвариантными без всяких добавок, но рассмотрение их слишком сложно.

Произведем преобразование метрики к более удобным переменным:

В новых переменных

Уравнение для имеет вид (при , зависящих только от )

где

Пространственная однородность позволяет искать частные решения в виде

Уравнение для имеет вид (индекс опускаем)

Величину удобно назвать частотой и обозначить Конформная инвариантность теории использована выше для того, чтобы уменьшить с трех до двух число функций, от которых нетривиально зависит решение. Действительно, в последнее уравнение входят три функции, но они связаны одним тождеством

Решение уравнений ищем по методу Лагранжа, т. е. в виде решений, справедливых в адиабатическом приближении, умноженных на функции времени.

Итак, по определению

На две функции накладываем дополнительное условие:

Сопоставляя с полным выражением для получим уравнение, связывающее а и

С учетом этого уравнения получим окончательно систему

Рассмотрим общие свойства системы. Она имеет точный интеграл

При итеративном решении, задавшись начальным условием при получим (при малых и )

Эти свойства имеют ясное истолкование, В классической теории решения соответствуют распространению волн в противоположных направлениях. Пока имеем одну волну, адиабатически изменяющуюся в переменной метрике.

Условие означает, что одновременно рождаются две волны противоположного направления, так что общее количество движения поля не изменяется: если начальная волна несла импульс то добавились волны, несущие суммарный их вклад равен нулю. Сохранение количества движения является естественным следствием однородности пространства.

Другим проявлением попарного рождения волн является тот факт, что в дифференциальные уравнения, связывающие ссир между собой, входят экспоненты удвоенной частоты. Следовательно, амплитуда зависит от фурье-компоненты изменения метрики с

военной частотой. На квантовом языке можно сказать, что у внешнего гравитационного поля заимствуются порции энергии, равные в соответствии с тем, что кванты скалярного поля рождаются парами, с энергией каждый.

Если бы при была задана стоячая волна вида то при получилась бы также стоячая волна, амплитуда которой может быть больше или меньше начальной амплитуды в зависимости от начальной фазы.

Возмущение метрики происходит во вполне определенный период времени, характеризуемый видом функций Поэтому в формулировке задачи нет группы сдвига по времени и возникает зависимость от начальной фазы. Результаты для бегущей комплексной волны вида очевидно, не зависят от начальной фазы. Изменение энергии бегущей волны под действием возмущения метрики всегда положительно и равно усредненному по фазе 6 изменению энергии стоячей волны; оно и вычислено.

Конформная инвариантность теории проявляется в том, что в уравнения входят только разности скоростей расширения, разности постоянных Хаббла по различным осям.

До сих пор рассматривалась задача о классическом поле. После фурье-разложения уравнение, характеризующее амплитуду данной пространственной моды, есть уравнение гармонического осциллятора. Спектр гармонического осциллятора эквидистантен: где целое число. В полном соответствии с этим энергия данной волны может принимать собственные значения в соответствии с числом квантов поля с данным волновым вектором. Хорошо известно, что в случае осциллятора между результатами квантовой и классической теорий есть далеко идущее совпадение. Расчеты по теории квантованных полей (слишком сложные для данной книги) приводят к результатам, совпадающим с классическими, описанными выше, при условии правильного выбора начальной амплитуды асоответствующей энергии

В космологические задачи входят плотность энергии и другие компоненты тензора энергии-импульса, зависящие от рассматриваемого поля. Эти величины получаются сложением вклада отдельных мод, т. е. интегрированием в пространстве волновых векторов Такие интегралы оказываются расходящимися, так, например, сумма нулевых энергий всех возможных колебаний бесконечна.

Поэтому возникает необходимость перенормировки теории, притом такой, которая оставляла бы в силе все общие свойства результата. Предлагается каждой данной волне с импульсом сопоставлять волну с ббльшим импульсом соответственно, меньшей амплитудой Вычитая из энергии Л-волны энергию -волны,

уничтожим нулевую энергию; аналогично устраняем и другие расходимости. В конечных результатах полагаем . Достоинство метода заключается в том, что на всех этапах рассматриваются решения полевых уравнений (и для -волны и для -волны). Это обеспечивает конформную инвариантность и выполнение законов сохранения.

С другой стороны, -волна подвергается нетривиальному воздействию гравитационного поля, тогда как -волна при ведет себя строго адиабатично. Поэтому энергия новых волн, рожденных гравитационным полем , остается нетронутой, не подвергается вычитанию при такой процедуре ренормализации. Этот метод подобен методу Паули — Вилларса, с той разницей, что не вводятся большие массы, а значит, сохраняется конформная инвариантность теории. Паркер, Фуллинг (1974), Фуллинг, Паркер (1974) нашли другое обоснование предлагаемого способа перенормировки