§ 4. Возмущения как вариации параметров решения

Полученные в предыдущем параграфе результаты могут быть использованы для построения решения и в более сложных (по сравнению с плоским миром) ситуациях. Выберем начальные возмущения

специальным образом: пусть внутри сферы радиуса возмущения в момент не зависят от координаты.

Снаружи возмущения положим равными нулю. Очевидно, внутри сферы справедливо решение, описывающее эволюцию однородной изотропной Вселенной, но с несколько иными параметрами. Внешняя область не влияет гравитационно на внутреннюю область в силу сферической симметрии задачи. Давление также не влияет на динамику расширения, так как возмущения заданы в большом масштабе где скорость звука).

Следовательно, если невозмущенное движение описывается функцией то для описания возмущения нам необходимо найти близкое решение космологических уравнений. Функция определяется как

Космологические уравнения для содержат лишь под знаком дифференциала. Поэтому-то один из путей получения решения, близкого к невозмущенному, состоит в том, что производится сдвиг по времени:

Постоянный множитель не существен для решения линейного уравнения Следовательно, одним из решений (убывающим при расширении, 6а в обозначениях § 3) является

Для того чтобы найти возрастающее решение мы сравним невозмущенное решение с решением, отличающимся значением плотности:

Выберем решения так, чтобы моменты сингулярности для возмущенного решения и для невозмущенного решения совпадали; следовательно, оба решения асимптотически совпадают при

Различие в решениях увеличивается с течением времени. Метод применим и при конечных возмущениях, где различие решений

не мало. Наиболее яркий пример дает случай при для невозмущенного решения и так что при возмущении плотность больше критической, в этом случае в некоторый момент расширение возмущенной области сменяется сжатием: при тогда как конечно. В случае при плотность в возмущенной области изменяется по закону вместо в невозмущенной области. Таким образом, при возмущения любого знака качественно меняют ответ. В линейной теории мы учитываем лишь член первого порядка по и ответ имеет следующий вид при произвольном

Выражение (9.4.4) дает растущее решение уравнения для возмущений. Рассмотрение сферической возмущенной области полезно также для вывода уравнения развития возмущений (9.3.2) иным путем.

Для сферически-симметричного случая можно написать радиус невозмущенного шара, его возмущение):

Окончательно имеем формулу

которая может быть преобразована к виду (9.3.2) с помощью уравнений невозмущенного движения. Этот способ нагляднее, чем длинный вывод с помощью фурье-компонент, использованный в § 3.

Рассмотрим подробнее возмущение скорости при изменении плотности внутри заданной сферы радиуса Наружное вещество не действует гравитационно на внутреннее, поэтому внутри возмущенной оболочки имеет место хаббловское расширение с возмущенной функцией Однако возмущение плотности внутри возмущенной области гравитационно влияет на наружную область В этой области скорость оказывается возмущенной: Таким образом, не совсем точно было бы утверждать, что решение в целом складывается из возмущенной внутренней области и невозмущенной внешней. Однако надо заметить,

что возмущение скорости во внешней области такое что его дивергенция тождественно равна нулю, т. е. оно не приводит к изменению плотности. Поэтому, если рассматривать только то внешняя область не возмущена. Когда по величине дивергенции мы находим, обратно, поле скорости (при условии потенциальную часть скорости), в расчет входят интегралы такие, что там, где

Поскольку линейная теория развития возмущений в модели Фридмана с уравнением состояния проста и может быть построена непосредственно, то некоторые читатели, возможно, решат, что столь подробный разбор найденного выше автомодельного решения — стрельба из пушек по воробьям. Но это рассмотрение полезно для более широких целей — для понимания нелинейной ситуации и также для более сложных случаев, включая и теорию возмущений в рамках ОТО. Цель настоящего параграфа — дать рабочий инструмент и идеи общих методов, а не просто результаты и готовые формулы.