§ 2. Космологические модели с Л-членом

Уравнения Эйнштейна при введении -члена имеют следующий вид:

(обозначения см. § 1 гл. 2). Из этого выражения мы видим, что новый член эквивалентен дополнительному члену в тензоре энергии-импульса. Этот член дает плотность энергии

и давление

Можно ввести также плотность массы

Введенные величины не зависят от плотности частиц, поэтому можно говорить о и как о плотности массы, плотности энергии и давлении пустого пространства, вакуума. Мы проанализируем влияние этих величин на поведение Вселенной в ньютоновской манере, как в гл. 1. Такой анализ позволит объяснить также, почему Эйнштейн назвал «космологической» постоянной.

При этом, однако, будет учтено, что в уравнение для ускорения входит [см. (1.6.2) и (2.1.8)], так что при в уравнение войдет комбинация

Далее, уравнение (1.6.5) для «кинетической энергии» будет написано сразу с тем значением константы, которое следует из ОТО [см. уравнение (2.1.9)], когда масштабный фактор выбран как радиус мира:

При этом для гиперболической метрики [формула (2.3.2), открытый мир], для сферической метрики [формула (2.2.6), замкнутый мир] и для плоского евклидова мира [формула (2.5.2), где мы условились писать вместо Здесь ей без индексов относятся к обычной материи: звездам, межгалактическому газу, излучению; очевидно, что

Отметим, что с трактовкой и как плотности энергии и давления вакуума полностью согласуется тот факт, что эти величины удовлетворяют закону сохранения энергии (первому началу термодинамики) в форме причем Как отмечено в ТТ и ЭЗ, значения ел и к тому же и лоренц-инвариантны, очкнаковы во всех движущихся друг относительно друга координатных системах.

Вместо (2.1.8) и (2.1.9) мы теперь имеем

Наиболее важное свойство новых уравнений — возможность статического решения: если

то из (4.2.5) и (4.2.6) следует:

Заметим, что статического решения не существует без космологического члена, так как материя имеет что, согласно (4.2.5), несовместимо . В случае статическое решение получается благодаря отрицательному давлению которое превосходит положительное в выражении Далее, очевидно, что статическое решение должно быть замкнутым: условие дает откуда величина в правой части уравнения (4.2.6) — получится определенно положительной, . [Предлагаемая трактовка близко следует Бонди Следовательно, мир замкнут. Радиус его выражается через плотность и давление вещества. Такое решение, называемое космологической моделью Эйнштейна, реализует пожелания Эйнштейна — замкнутость и статичность Вселенной.

Обратимся к космологической модели с предложенной недавно в связи с исследованием квазаров. Сначала Петросян, Солпитер и Шекере (1967) ввели А, чтобы объяснить соотношение красное смещение — видимая величина для квазаров. Вскоре после этого Шкловский (1967) и Кардашев (1967) предложили космологическую модель с выбранной так, чтобы расширение имело длительную задержку на определенном радиусе. Одно время казалось, что имеются указания на концентрацию квазаров при определенном красном смещении ; возможное объяснение заключается в том, что это смещение достигается при радиусе а, когда приближенно выполнены соотношения (4.2.7) и Вселенная длительно почти не расширяется. Таким образом, предлагается модель, которая в течение длительного времени весьма близка к статической модели Эйнштейна; следовательно, модель является замкнутой. Оказывается, что условие «плато» для функции при определенном и сегодняшнее значение постоянной Хаббла полностью определяют основные свойства модели. Значит, азадержки Связь между радиусом и красным смещением полученная нами в гл. 3, сохраняется, очевидно, и при наличии Ниже полагаем, что можно пренебречь давлением материи (в том числе давлением излучения, входящего в состав материи). Тогда плотность материи на время задержки После этого из (4.2.7) легко найдем основные характеристики модели.

Расчет дает (полагаем

Плотность обычной материи в этой модели в настоящее время радиус мира на плато см. Длительность пребывания на плато можно принять любой. Эта длительность пропорциональна или где величины с двумя штрихами суть значения параметров, дающие строго статическую модель. Кардашев принимает длительность порядка для чего нужно порядка . Замкнутый мир с длительной задержкой расширения обладает своеобразной особенностью: за время задержки световой (или радио-) луч успевает несколько раз обойти всю Вселенную. За время, равное сек, луч приходит от антицентра, т. е. от точки, где в метрике За вдвое большее время луч обходит весь мир и возвращается в точку испускания. Формально при

происходит фокусировка лучей, угловое и болометрическое расстояния обращаются в нуль, поток энергии, принимаемый нами, сильно зависит от того, имеется ли близко от антиполюса (случайно) источник излучения (то же относится к источнику в далеком прошлом в том месте, где сейчас находится Галактика и где выбрано начало системы координат). В ряде работ обсуждаются причины, нарушающие точную фокусировку лучей, характерную для строго однородной и изотропной модели. Наблюдения не подтверждают фокусировки лучей. В целом концепция космологической модели с и плато для при в настоящее время в значительной мере утратила свою привлекательность.

Теперь рассмотрим общую постановку задачи о динамике и геометрии моделей с с тем, чтобы классифицировать все типы решений. Для удобства сравнения с наблюдениями (реальными или будущими) предположим, что известны современные значения постоянной Хаббла Но и плотности вещества давлением вещества пренебрегаем. Пусть, далее, известна или связанное с ней согласно уравнению (4.2.5) значение ускорения.

Характер решения уравнений (4.2.5), (4.2.6) зависит только от безразмерных величин; снова введем безразмерную плотность и безразмерное ускорение До тех пор, пока рассматривалась теория с при величины были синонимами: Однако при из (4.2.5) найдем так что разность характеризует величина X есть безразмерная (отнесенная к плотность, соответствующая космологической постоянной, т. е.

Введем еще параметрых а также безразмерный радиус мира в настоящий момент. Уравнение первого порядка

преобразуем, деля на

Полученное уравнение имеет вид закона сохранения энергии для движения материальной точки с координатой х в зависимости от времени в потенциале, зависящем от х. Уравнение можно преобразовать, вводя вместо и учитывая, что характеризует скорость расширения в настоящий момент, когда откуда следует, что при Благодаря этому константа не является независимой, а выражается из (4.2.11) через и X или Окончательно получим

В таком виде уравнение применимо ко всем трем вариантам геометрии (замкнутый, гиперболический, плоский мир). Решения, описывающие нашу Вселенную, проходят через точку Для получения всех детальных сведений о зависимости яркости и числа галактик от красного смещения нужно было бы интегрировать уравнение (4.2.12), а затем и уравнение распространения лучей: Это и было сделано в ряде работ; см., например, Стейбелл и Рефсдал (1966). Получающиеся зависимости довольно сложны, особенно когда происходит многократное обегание Вселенной световыми лучами. Здесь, однако, можно ограничиться исследованием общего характера эволюции. Для этого достаточно построить кривые где правая часть выражения (4.2.12). Если интервале то движение от до происходило монотонно, в прошлом имела место сингулярность, эволюция качественно подобна эволюции мира для которого функция и удовлетворяет условию при Назовем такую ситуацию вариантом Возможен, однако, и случай, когда в области Это значит, что указанная область запрещена (энергетический барьер).

В этом случае в прошлом радиус Вселенной был бесконечен, Вселенная сначала сжималась от до определенного а затем расширилась от (отражение частицы от энергетического барьера) и в настоящее время находится в фазе расширения.

Такая ситуация (назовем ее вариантом II) вряд ли годится для описания нашей Вселенной: в ней нет сингулярности, нет периода большой плотности вещества. Между тем именно в период большой плотности естественно возникает равновесный спектр излучения (реликтовое излучение, РИ, см. далее); в варианте II спектр РИ необъясним

Аналогично можно рассмотреть и будущее Вселенной. Оно зависит от поведения при Если при то имеет место неограниченное расширение (вариант III). Если при некоем то сегодняшнее состояние, приведет к расширению до которое затем сменится сжатием, причем сжатие дойдет до сингулярности, (вариант IV).

Рис. 24. Диаграмма для космологических моделей с различными значениями

Вся информация о различных вариантах геометрии и эволюции при сведена на рис. 24. Координатами являются величины, в принципе (но, увы, не практически — сегодня по крайней мере) наблюдаемые по нашей близкой окрестности: параметр ускорения и безразмерная плотность материи Напомним, что давление обычной материи считается пренебрежимо малым, может быть и положительным, и отрицательным.

Линия соответствует случаю, подробно рассмотренному ранее. Параллельные ей пунктирные линии соответствуют слева от и справа от Линия соответствует трехмерному плоскому миру ее уравнение

Эта линия отделяет решения, соответствующие замкнутому миру (левее от решений для открытого мира (правее

Обратимся к различным типам эволюции. Линия отделяет два типа прошлого: правее и левее Модель Кардашева с длительной задержкой весьма близка к точке (но чуть выше и правее). Наконец, линия разделяет два типа будущего: левее уравнения предсказывают неограниченное расширение — вариант III, правее вариант IV. В моделях без -члена будущее и геометрический тип были связаны однозначно: замкнутый мир эволюционировал по типу IV, плоский или открытый — по типу III. Как видно из рис. 24, эта связь не имеет места в случае Здесь имеется область, для которой мир геометрически (трехмерно) замкнут и тем не менее ему предстоит неограниченное расширение. В другой области, напротив, гиперболическому миру предстоит остановка и переход от расширения к сжатию в будущем.

Отметим в заключение любопытное частное решение, соответствующее точке В, — плоский мир без материи, с метрикой,

имеющей вид

для чего нужно Это — метрика так называемой стационарной Вселенной.

В этом варианте расширение происходит неограниченно во времени и в прошлом, и в будущем, мир не статичен, но стационарен в том смысле, что все его локальные свойства не зависят от времени. Буквально это решение неприменимо ко Вселенной с материей (когда но оно вдохновляло некоторые попытки описания вечной стационарной Вселенной, которые, несмотря на отрицательное отношение к ним, мы рассмотрим позже, в разделе V.