§ 3. Графики и формулы для функций, определяющих наблюдаемые величины

Для характеристики красного смещения введем величину (со — частота)

Очень часто применяется другая величина,

Очевидно,

Преимущество использования связано с конечной областью изменения — от вблизи точки наблюдения до на горизонте; соответствует тому, что частота наблюдаемого света стремится к нулю; есть предел возможности наблюдения. Переменная меняется от 0 до что затрудняет построение графиков. Поскольку все же использование широко распространено, мы даем формулы в двойной записи; с Для удобства перехода от даем таблицу:

Заметим приэтом, что для адля

Рассмотрим угол под которым виден объект данного линейного размера . В евклидовой геометрии

где расстояние до объекта. В кривом мире назовем, по определению, величину угловым расстоянием и обозначим через Длина окружности с центром в точке наблюдения, на которой в момент испускания света находится рассматриваемый объект, равна Сопоставляя с выражением интервала (3.2.1), найдем где сопутствующая координата объекта. Момент испускания света задается условием, чтобы в точку наблюдения (на Землю) свет пришел сегодня. Следовательно, вблизи горизонта

а значит, и угол неограниченно возрастает. Так как для близкого к наблюдателю объекта с его удалением (ростом ) угол убывает, а у горизонта он возрастает, то отсюда следует, что угол для объекта с данным I проходит через минимум при изменении Наличие минимума 0 и максимума является общим свойством расширяющейся Вселенной, справедливым и для открытой и для закрытой модели. Наглядный подход к физической интерпретации этого минимума будет изложен в связи с расчетом углов в неоднородной Вселенной (§ 10).

Рис. 8. Безразмерное состояние (измеренное по видимому угловому диаметру объекта с фиксированным линейным размером) в зависимости от красного смещения А при разных значениях безразмерной плотности (значения даются цифрами над кривыми) и при Пунктирная линия — геометрическое место максимумов кривых.

Перейдем теперь к выражению через красное смещение Для сравнительноблизких объектов, при геометрия евклидова. Доплер-эффект можно рассматривать нерелятивистским образом, изменение расстояния за время прохождения света мало. Значит, в пределе при малых

Для любых расстояний можно ввести функцию безразмерного углового расстояния и написать

Функция находится следующим образом. По определению Величины связаны между собой уравнением распространения света: и поэтому выражается через и сегодняшние значения После этого остается выразить через z (или через ). Как это делается, подробно рассказано в следующем параграфе. Здесь мы приведем окончательный ответ и разберем свойства функции

Функция зависит не только от или но и от отношения Вид различен при Функции имеют

следующие общие свойства:

На рис. 8, 9 приведены кривые для , причем на рис. 8 даны кривые для на рис. 9 — для Следует особенно обратить внимание на предельный случай

Рис. 9. То же, что и на рис. 8, но при

Чем меньше тем дальше находится максимум (при близком к единице). В пределе при т. е. для модели Милна, функция имеет простой вид:

Кривые для на рис. 8 и 9, естественно, совпадают. При функция не имеет максимума или, точнее, максимум оказывается на краю интервала определения функции, при

При большой плотности, максимум в случае приходится на При этом

Аналогично в случае

Для справок приводим формулы:

Разложение при малых будет рассмотрено отдельно, в § 5 этой главы.

Наблюдаемая светимость объекта, для которого известны размеры, яркость и спектр, а также красное смещение, полностью определяется функцией Удобно расчленить вопрос о светимости на вопросы о яркости и об угловых размерах.

Мерой яркости является количество световой энергии, приходящей к наблюдателю в единицу времени на единицу площади приемника, нормального лучу, отнесенное к телесному углу,

В силу изотропии Вселенной элемент телесного угла обычным образом выражается в сферических угловых координатах, . Наряду с интегральной по спектру яркостью можно ввести спектральную яркость т. е.

Из оптики известно, что в плоском пространстве яркость не зависит ни от расстояния, ни от преломления лучей, если только нет поглощения или рассеяния света.

Для расширяющейся Вселенной есть аналогичная теорема: яркость не зависит ни от чего, кроме красного смещения . В частности, яркость не зависит от кривизны пространства, плотности вещества и т. п. (предполагается, что на пути луча нет поглощения или рассеяния света). В очень общей форме как следствие теоремы Лиувилля для квантов эта теорема выведена Линдквистом (1966).

Излучение черного тела, соответствующее абсолютной температуре Тисп, преобразуется в излучение черного тела с температурой

Формула Планка имеет вид

Полный поток излучения в элементе телесного угла

следовательно, при красном смещении преобразуется по закону

Спектр произвольного вида, характеризуемый спектральной функцией преобразуется по следующему закону:

при этом

так что интегральная (болометрическая) яркость всегда убывает, как независимо от формы спектра источника.

Дифференциальный закон изменения спектральной яркости для данной фиксированной частоты зависит от вида спектра испускания. Формула для произвольного спектра испускания приведена выше [см. (3.3.14)]. В частном случае степенного спектра испускания

наблюдаемый спектр, подвергшийся красному смещению, имеет также степенной вид:

Выяснив закон изменения яркости, т. е. потока света в единице телесного угла, обратимся к вопросу о полном количестве света, попадающего к наблюдателю от данного небесного тела.

Далекая звезда не разрешается по угловым размерам. Измеряется не яркость ее поверхности, а поток энергии от всей звезды, приходящийся на единицу поверхности в точке наблюдения.

В области, где применима евклидова геометрия, телесный угол, под которым виден источник, равен отношению проекции площади источника к квадрату расстояния:

В расширяющейся Вселенной мы должны поставить вместо так что

Полное количество света, приходящееся на поверхности у наблюдателя, выражается через поток энергии звезды

Можно определить «болометрическое» расстояние D как расстояние, на котором в евклидовом пространстве неподвижный объект дал бы поток энергии наблюдателю такой же, какой дает тот же объект в расширяющейся модели Фридмана.

Из сравнения (3.3.19) и (3.3.19а) и соотношения, определяющего

находим

При малых имеем и поэтому

т. е., естественно, все различные определения расстояния совпадают. При сравнимых с 1, знаменатель играет большую роль. С ростом величина D монотонно растет и не имеет максимума, в отличие от Во всех вариантах любое при Это значит, что красное смещение существенно уменьшает поток энергии далеких звезд.

Для практических наблюдений важен поток энергии в части спектра, воспринимаемой фотопластинкой или другим приемником излучения. Теория спектральных поправок (так называемая -поправка), учитывающих чувствительность приемника, основана на формуле (3.3.14) и хорошо разработана [Уитфорд (1971), Оук (1967), Мак-Витти (1959а, б, 1962а, б), Сэндидж (1968)]; мы не будем ее здесь приводить.

В выражении (3.3.19) есть энергия, принимаемая в единицу собственного времени наблюдателя, тогда как есть поток энергии звезды в единицу ее собственного времени. Здесь, как и выше, фактически учтено преобразование времени: если на звезде между двумя явлениями (например, двумя вспышками) проходит время то наблюдатель воспринимает световые сигналы об этих явлениях с большим интервалом, тнабл

Формулы, в которые входят звездные величины и которые обычно используются астрономами, см. далее, в §§ 4, 5.

Наконец, нам остается обсудить еще один тип наблюдений, связанных с количеством вещества, заключенным в слое с красным смещением между Начнем опять с классической картины: в евклидовой статической Вселенной, очевидно,

где средняя плотность вещества; или, если говорить о числе частиц (например, нуклонов),

Подставим вместо его выражение через При малых и получаем

Введем функцию «исправляющую» классическую формулу: в действительности в расширяющейся искривленной Вселенной

Функция учитьшает и то, что Вселенная расширяется, и раньше, т. е. при заметно отличающихся от нуля, плотность вещества была другая, и то, что пространство неевклидово. Выводится эта функция следующим образом. По определению в момент испускания света в искривленном пространстве

После этого повторяем вычисления, о которых мы говорили выше при выводе функции и получаем выражение для вида (3.3.25), в котором безразмерный множитель, зависящий от и называем функцией

Эта функция приведена на наших графиках для двух случаев: (рис. 10) и (рис. 11). Она меняется в широких пределах, поэтому для каждого случая приводится отдельно график, выполненный в большом масштабе (рис. 12, 13), на котором удобно считывать значения при малых По смыслу поправки ясно, что при при любых При малых значения достигают величин, во много раз превышающих единицу.

Переходя к переменной вместо нужно дать новое определение «исправляющей» функции:

Новая функция связана с следующим образом:

поэтому

Следовательно, чтобы использовать графики рис. 10—13, работая с вместо надо преобразовать как шкалу абсцисс, так и шкалу ординат, разделив функцию на чтобы получить

(кликните для просмотра скана)

Качественно поведение 1 отлично от поведения всегда и везде имеет отрицательную производную, так что всегда падает. При малых z в обоих случаях

При (модель Милна) имеют место простые формулы:

При при любых как видно из приведенных рисунков. Резкая зависимость от будет, возможно, полезна для наблюдательного определения величины (см. по этому поводу §§ 9 и 10 этой главы). Через функцию выражается также распределение объектов по наблюдаемой величине, которым мы займемся ниже, в § 5.

При практическом применении формулы (3.3.25) часто делается предположение, что число наблюдаемых объектов определенного типа, например число галактик в данном слое, пропорционально общему числу нуклонов в этом слое. В случае это предположение соответствует утверждению, что число галактик пропорционально общей массе вещества в данном слое.

Случай означает, что в общей плотности главную часть составляют кванты и нейтрино, а плотность обычного вещества, из которого состоят звезды, составляет малую долю Эта доля к тому же переменная, так как в ходе расширения происходит изменение энергии квантов и нейтрино; поэтому по закону адиабатического расширения вещества с плотность нуклонов

В этом случае естественно предположение, что плотность галактик (или других объектов) пропорциональна именно а не Поправочная функция дается для а не для

Для справок приводим общие формулы (к сожалению, весьма громоздкие и неудобные), а также некоторые частные случаи,

а) Случай

где

Асимптотические формулы для этого случая имеют вид:

Для частного случая нами уже получены формулы (3.3.26). При

б) Случай

асимптотические формулы следующие:

Для частного случая (тождественно при всех Д).

Функция , характеризующая распределение вещества по слоям, просто связана с функцией (см. выше, § 2 этой главы), дающей общее количество вещества внутри горизонта:

При но так, что интеграл (3.3.34) сходится (за исключением случая, когда

Дадим, наконец, еще одну формулу для случая (вывод этой формулы см. далее, в § 4):

Хотя сама величина и не является наблюдаемой, но она входит в выражения для таких наблюдаемых величин, как оптическая толща, полное излучение из слоя с меняющимся в заданных пределах,