§ 4. Возникновение длинноволновых возмущений в газе из звезд или звездных скоплений

Рассмотрим важный вопрос о формировании сгущений большого масштаба из уже возникших отдельных объектов. Это — так называемая теория скучивания объектов.

Скучивание может происходить по двум причинам. Во-первых, потому, что в больших масштабах были первоначальные малые возмущения на ранней стадии расширения в начальном спектре. Эти возмущения растут в согласии с законами гравитационной неустойчивости и с течением времени дорастают до значительных и приводят к возникновению скоплений объектов. Во-вторых, скучивание может происходить из-за нелинейных эффектов, порождающих длинные волны возмущений из коротких.

Ниже мы проанализируем, при каких условиях осуществляется каждая из указанных причин скучивания. Дальнейшее изложение в этом параграфе основано на работе Дорошкевича, Зельдовича (1974).

Предположим, что спектр возмущений — весь или часть его — соответствует амплитуде, падающей с ростом масштаба, но не слишком быстро (ниже мы уточним, что означает «не слишком быстро»). В таком случае сперва образуются мелкие единицы — отдельные тела, но они распределены с пространстве неравномерно из-за наличия (хотя и более слабых) возмущений большего масштаба.

Образование больших единиц в этой картине определяется начальным спектром, начальной амплитудой соответствующих возмущений. При этом предварительное, более раннее образование малых единиц в первом приближении несущественно. В большом масштабе (например, ) закон нарастания возмущений одинаков для газа, состоящего из отдельных атомов и для газа, «молекулами» которого являются шаровые скопления с массой

Пусть в момент рекомбинации грек заданы возмущения плотности, зависящие от масштаба, характеризуемого массой по закону

Закон роста возмущений (для случая критической плотности) таков:

Примем в качестве приблизительного условия обособления отдельных тел Тогда первые обособившиеся тела с массой появятся в момент который получим из условия

так что

В дальнейшем происходит рост характерной массы, т. е. процесс объединения масс в агрегаты с массой по закону

В частности, при простейшем законе получим [см. Пресс и Шехтер (1974)]

так что число первичных тел с массой объединившихся к данному моменту растет пропорционально квадрату радиуса Вселенной.

Однако закон (13.4.5) независимого роста возмущений разных масштабов возможен, как мы сейчас покажем, лишь при не слишком крутом спектре, в случае степенного спектра.

Дело в том, что необходимо учесть нелинейные эффекты. Рассмотрим крайний случай, когда в первичном спектре длинноволновые

возмущения вовсе отсутствуют при Коротковолновые возмущения в процессе роста за счет нелинейности рождают также и длинноволновые возмущения с амплитудой фурье-компонент где волновой вектор. Обоснование этого закона будет дано ниже в этом параграфе. Здесь остановимся на физических выводах [Зельдович (1965г), Пиблс (19746)]. В пересчете на среднее возмущение плотности, соответствующее данной массе получим

Из размерности следует, что в момент когда для больших масс

Таким образом, если начальный спектр достаточно крут, то нелинейные эффекты приводят к степенному спектру (13.4.8) с показателем которому соответствует закон роста массы

Именно этот закон можно назвать «автомодельным» законом скучивания. Этот закон устанавливается во всех случаях, когда начальный спектр является достаточно крутым, т. е. когда в начальном спектре нет длинноволновых возмущений (точнее, эти возмущения меньше определенного предела) и возникновение больших масс причинно связано (через нелинейность) с ранее произошедшим обособлением малых масс.

Напротив, закон не следует называть автомодельным: степенная зависимость здесь отражает задание начального спектра в степенном виде, а не физическую сущность процесса.

Предположим, что начальные возмущения являются энтропийными. Тогда естественно предположить, что имеет максимум при на момент . В меньшем масштабе возмущения не растут: этому препятствует газовое давление нейтрального водорода. Предположим, что массы выделяются наиболее рано, при спектр крутой, и дальнейшая эволюция заключается в их гравитационном скучивании. При этом к сегодняшнему моменту получим Следовательно, такая концепция неудовлетворительна, она не объясняет существования объектов с гораздо большей массой.

Пресс и Шехтер (1974), принимая закон получают что близко к массам гигантских галактик или малых скоплений галактик. Выше было объяснено, что в действительности в этом случае образование больших объектов является

следствием задания длинноволновых возмущений в начальных условиях, и нельзя в этом случае говорить об объяснении процесса образования тел с

В ранней работе Дорошкевича, Зельдовича и Новикова (1967а) предполагалось, что физические возмущения, связанные со взрывами протозвезд приводят к более быстрому нарастанию масштабов. В настоящее время нам представляется более вероятным наличие начальных возмущений в масштабе до достаточных для того, чтобы достигалось при [см. Сюняев, Зельдович (19726), Дорошкевич, Шандарин (1974)].

Такие возмущения могут быть адиабатическими, а не энтропийными, тогда масштаб обусловливается затуханием акустических волн меньших масштабов на предыдущей, догалактической стадии эволюции. Все эти вопросы будут рассмотрены в следующей главе.

Перейдем теперь к выводу приведенного выше автомодельного спектра длинноволновых возмущений (13.4.7).

Предположим, что пространство разбито на малые ячейки, в каждой из которых находится одна или несколько частиц, причем выполнены два условия: 1) масса в каждой ячейке постоянна;

2) суммарный импульс частиц в ячейке равен нулю, и центр тяжести всех частиц в данной ячейке совпадает с центром ячейки. Покажем, что в этом случае возникают возмущения, характеризуемые спектром при Аналогичный вывод может быть сделан и в рамках гидродинамики [см. об этом Дорошкевич, Зельдович (1974)].

Пренебрежем космологическим расширением и гравитационным взаимодействием. В этом случае каждая частица движется по прямой с постоянной скоростью Можно записать текущую координату отдельной частицы в виде

где координата центра ячейки, начальное смещение частицы из центра ячейки. Разлагая плотность в ряд по степеням получим (У — объем системы)

Первый член ряда описывает среднюю плотность и не содержит случайных множителей Второй и третий члены ряда дают нуль при суммировании в пределах каждой отдельной ячейки, поскольку, согласно предположению 2), центр тяжести ячейки

совпадает с ее центром и суммарный импульс частиц в ячейке равен нулю. Лишь квадратичные по члены дают отличный от нуля вклад в случайную амплитуду возмущений. Это приводит к амплитуде возмущений плотности

Это очень общий результат. Произвольное локальное взаимодействие, рассматриваемое как источник возмущений, удовлетворяет законам сохранения массы и импульса. Следовательно, возникающие возмущения плотности характеризуются амплитудой Это, например, проявляется при расчете флуктуаций в гидродинамике, возникающих под влиянием диссипативных процессов [Ландау и Лифшиц (1957)]. В случае стационарных флуктуаций (квантовых или равновесных) рассмотренное выше разложение не применимо ни для каких и вывод не справедлив. Поэтому в стационарном распределении возможны спектры равновесное распределение, квантовые флуктуации бозе-газа, квантовые флуктуации ферми-газа и др.

В упомянутой работе Пресса и Шехтера (1974) в отдельной ячейке была лишь одна частица, причем расположенная случайным образом. В этом случае центр тяжести ячейки не совпадает с центром ячейки и возмущения характеризуются амплитудой в пределе Вернемся к предположению (13.4.11).

Учет расширения и гравитационной неустойчивости приводит к выводу (для простоты предположим критическую среднюю плотность):

в пределе при масштабный множитель, описывающий общее хаббловское расширение), или, подставляя по порядку величины получим

Если определять дисперсию массы в объеме, охватывающем массу условием

то для спектра (13.4.13) получим

что и решает, в принципе, вопрос о возможности гравитационного скучивания объектов.

Для того чтобы связать конечное распределение объектов по массам и начальный спектр флуктуаций плотности, используется какое-либо условие обособления, объектов, условие слипания частиц и выделения группы их на общем среднем фоне. В работах Дорошкевича (1967) и Пресса и Шехтера (1974) предполагается, что каждый выделяющийся объект строго сферически-симметричен, и в качестве условия обособления используется требование достижения определенного избытка массы в шаре с данной массой При этом границы шара фиксируются резко и, как это отмечено и обсуждается Зельдовичем, Новиковым (19676), см. также гл. 12, дисперсия массы в объеме с массой определяется формулой (13.4.14) при лишь в том случае, если Если же то резкое задание границы приводит к тому, что вместо (13.4.14) мы получим при любом В этом случае определяется флуктуацией числа частиц на границе рассматриваемого объема. В реальной задаче, особенно при отказе от точной сферической симметрии, резкой границы не возникает и можно полагать, что формула (13.4.14) лучше соответствует действительности. Принятое в работе Пресса и Шехтера (1974) условие обособления, в принципе, не позволяет выделить спектр с показателем

Результаты численных расчетов Пресса и Шехтера для случая начальных возмущений с показателем спектра полностью совпадают с теорией малых возмущений и не содержат каких-либо элементов автомодельности. Действительно, при для связи относительного превышения массы в объеме с массой с размерами объема и временем получим

где а — масштабный множитель. Условие обособления

откуда получаем зависимость массы «объекта» от времени:

Для показателя спектра (фактического) аналогичными рассуждениями получаем

что совпадает с результатами численного эксперимента на начальной стадии. В общем случае для произвольного показателя степени

получаем

и для флуктуаций, соответствующих (13.4.13),

Аналогичные результаты могут быть получены и для функции распределения объектов по массам. Формула, обобщающая распределение по массам Пресса и Шехтера, была получена Дорошкевичем (1967). Там же была выявлена область применимости этой формулы. Если отказаться от использования резкой сферической границы выделяющегося объема и использовать для дисперсии массы в данном объеме формулу (13.4.14), то для функции распределения объектов по массам получим

Для это полностью согласуется с результатами Пресса и Шехтера. Отклонение в численных экспериментах Пресса и Шехтера от теории при по-видимому, связано с использованием недостаточно большого количества частиц (только 103 точек). Это приводит к заметному влиянию границы, т. е. частиц, расположенных в поверхностном слое, и появлению примеси возмущений со спектром Не случайно эти возмущения проявляются лишь на поздней стадии расчета и точность этого варианта много хуже точности варианта с