РАЗДЕЛ I. РАСШИРЕНИЕ И ГЕОМЕТРИЯ ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ ВСЕЛЕННОЙ

ГЛАВА 1. ЛОКАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА ОДНОРОДНОЙ ИЗОТРОПНОЙ КОСМОЛОГИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

§ 1. Локальный закон распределения скорости

Будем рассматривать однородную и изотропную космологическую модель. Однородной изотропной космологической моделью называется идеализированная картина Вселенной, в которой: а) одинаковы все наблюдаемые величины в различных точках пространства в один и тот же (но любой) момент времени (свойство однороднсти) и б) в любой точке пространства, в любой момент времени равноценны все направления (свойство изотропии). Ниже мы покажем, что если в некоторый момент распределение и движение материи однородно и изотропно, то это свойство сохранится и в течение всей эволюции. Кроме того, из свойства однородности следует, что достаточно проследить судьбу одного элемента объема вещества, ибо судьба всех остальных в точности такая же. Очень важным оказывается для анализа эволюции то обстоятельство, что в данной модели можно воспользоваться ньютоновской теорией тяготения. Почему это оказывается возможным? Дело в том, что рассматриваемая однородная изотропная модель является частным случаем сферически-симметричной модели, причем за центр можно выбрать любую точку. Хорошо известно, что в классической ньютоновской теории тяготения сферически-симметричное распределение вещества не создает гравитационного поля внутри сферической полости. В действительности это утверждение справедливо также и в общей теории относительности (ОТО), если Вселенная однородна и расширяется изотропно. Оба утверждения подробно рассмотрены в нашей книге «Теория тяготения и эволюция звезд» (ТТ и ЭЗ). Таким образом, если мы выделим достаточно малый шар радиуса то поле тяготения, создаваемое его массой, будет слабым (внешние массы несущественны, ибо они не создают поля внутри полости), скорости относительных движений в этом шаре также малы, и можно пользоваться ньютоновской теорией. В однородной и изотропной модели, которая отлично

описывает нашу Вселенную, ОТО используется для строгого доказательства того, что она не является необходимой для решения локальных проблем в космологии.

Мы воспользуемся этим фактом и будем использовать привычную ньютоновскую теорию для вывода формул эволюции модели [Милн (1934, 1935), Мак-Кри, Милн (1934), Зельдович (1963), Каллан, Дикке и Пиблс (1955)]. Разумеется, когда мы от локальных свойств перейдем к изучению геометрии больших областей, необходимо будет вернуться к ОТО.

Итак, мы пользуемся в малой области ньютоновской теорией, локально являющейся точной. Разумеется, те же формулы можно было бы получить прямо из уравнений ОТО. Мы это сделаем в § 1 следующей главы. Однако смысл формул при таком способе вывода был бы не столь очевиден.

Движение вещества будем рассматривать в системе координат, выбранной так, что в начале координат (0) вещество покоится. В этой системе координат вещество, находящееся на некотором расстоянии от начала координат, движется. Пусть скорость движения положительна, т. е. направлена от начала координат, и пропорциональна расстоянию. В векторной форме такой закон распределения скорости записывается в виде

причем постоянная называется, как уже говорилось во введении, постоянной Хаббла. Название «постоянная» указывает на независимость от величины и направления вектора Однако зависит от времени, эта зависимость будет подробно рассмотрена в § 2. Очевидно, что указанное распределение скоростей изотропно: для наблюдателя, находящегося в начале координат, никакое направление не является выделенным. В произвольной точке А, радиус-вектор которой вещество движется со скоростью казалось бы, изотропия нарушается.

Перейдем в систему координат с началом в точке А, движущейся со скоростью т. е. произведем перенос начала координат и галилеев переход к движущейся системе. Величины, измеренные в новой системе, отметим штрихом. Очевидно, Тогда

Следовательно, в новой системе имеет место тот же закон распределения скоростей и в зависимости от что и в старой для зависимости и от Распределение скоростей (1.1.1) замечательно именно тем, что оно не выделяет никакой особой точки. Только такое распределение скоростей изотропно и однородно. Наблюдатель, движущийся вместе с веществом, в любой точке видит картину удаления от него всех окружающих его частиц.

Закон расширения (1.1.1) приводит к следующей картине локального расширения: расстояние между любой парой материальных точек изменяется со временем по закону откуда

Рассмотрим закон изменения плотности. Возьмем шар, содержащий определенную массу радиус его обозначим Плотность вещества откуда

Подставим в последнюю формулу получим

То же уравнение более формально можно получить из уравнения неразрывности

Предположим, что не зависит от координат, т. е. тогда

отсюда снова

Итак, не зависит от координат. Следовательно, если в какой-то момент не зависело от координат, то при законе расширения (1.1.1) во все последующие моменты также не зависит от координат, хотя и меняется с течением времени,

Таким образом, однородность, заданная в начальный момент, сохраняется всегда.

Тот же результат следует и для свойств распределения скорости. В системе покоя центра шара Найдем закон изменения скорости. Ускорение в данной точке внутри шара зависит от тяготения той массы, которая находится внутри соответствующей сферы

радиусом Обозначим эту массу где Ускорение по величине равно и направлено к центру, так что в векторной форме

Следовательно, и поскольку то и в любой последующий и предыдущий момент времени скорость изотропна, т. е. всегда хотя величина и зависит от времени.

В заключение подчеркнем, что все сказанное применимо для описания вещества и при наличии давления. Действительно, в силу однородности нет градиента давления, нет никакой силы, связанной с давлением и влияющей на движение. Все приведенные выше рассуждения остаются в силе. Правда, необходимо тут же оговориться, что существует релятивистский эффект, связанный с тем, что давление создает добавочную силу тяготения: Этот эффект существен лишь в случае, когда уравнение состояния вещества релятивистское и давление порядка плотности энергии: Мы остановимся на этом эффекте далее, в § 5. В последующих параграфах (§§ 2—4) мы предполагаем, что давление много меньше плотности энергии: . Этому условию, например, заведомо удовлетворяет совокупность галактик.