§ 2. Космологические гравитационные волны

Гравитационные волны отличаются от нейтрино тем, что их взаимодействие со всеми другими видами вещества еще слабее.

В настоящее время не вызывает сомнений, что следствием ОТО является существование гравитационных волн. Это убежд ние не зависит от результатов опытов Вебера и аналогичных работ, вызванных его статьями (см. обзор в ТТ и ЭЗ). Квантование гравитационных волн является принципиально необходимой частью квантовой теории. Таким образом, появляется понятие гравитона — кванта гравитационной волны, несущего энергию Это понятие аналогично Максвелловой теории электромагнитного поля, электромагнитным волнам и фотонам.

Аналогия идет еще дальше: гравитоны, как и фотоны, имеют нулевую массу покоя, они поперечны и имеют два независимых состояния поляризации. В уравнениях Максвелла продольное (ку-лоновское) поле не квантуется; то же относится и к продольным компонентам гравитационного поля.

В полном термодинамическом равновесии плотность энергии гравитационного излучения равна плотности энергии электромагнитного излучения; равновесный спектр гравитонов подчиняется в точности той же формуле Планка.

В чем отличие гравитационного излучения от электромагнитного? Одно отличие принципиальное: гравитационное излучение представляет собой разновидность изменения метрики пространства и времени. Спрашивается, вправе ли мы рассматривать это

излучение на фоне усредненной классической метрики? На этот вопрос дает ответ техника разделения метрики на плавно изменяющиеся и быстропеременные величины. В принципе (в связи с теорией псевдотензора энергии-импульса) идея восходит к «Теории поля» Ландау и Лифшица (1973), практически она реализована Айзаксоном (1968а, б), см. также ТТ и ЭЗ.

При квантовании существенно, что продольное гравитационное поле не квантуется, — это дает право рассматривать гравитоны на фоне классической, неквантованной, усредненной метрики.

Практическое, количественное отличие гравитационного излучения от электромагнитного состоит в том, что взаимодействие его с веществом исключительно мало, особенно на уровне элементарных частиц. Испускание электромагнитной волны пропорционально квадрату заряда, это значит, что безразмерный множитель, характеризующий вероятность излучения, Пусть происходит какой-то процесс с заряженной частицей, например ее отклонение при столкновении с другим зарядом. Вероятность того, что этот процесс сопровождается излучением одного фотона, равна вероятности безызлучательного процесса, умноженной на а. Могут войти и другие множители — меньше единицы, но множитель 1/137 обязателен!

При излучении гравитационных волн (гравитонов) аналогичную роль играет множитель Это неудивительно, достаточно сравнить выражение кулоновской энергии двух зарядов и гравитационной энергии двух масс чтобы убедиться, что играет роль квадрата заряда, Величина равна для двух протонов, для двух электронов. Малость этой величины приводит к тому, что излучение (а значит, и поглощение) гравитационных волн ничтожно мало. Поэтому в лаборатории тепловое гравитационное излучение не наблюдается. Очевидно, что в лаборатории при измерении теплового излучения черного тела внутри тела имеется равновесная плотность электромагнитного излучения, но нет ничего похожего на равновесную плотность гравитационного излучения. Мы всегда имеем дело с неполным термодинамическим равновесием.

При переходе к астрофизике, ко все большим пространственным масштабам, к большим плотностям и температурам, становится более существенным рождение и поглощение слабовзаимодействующих частиц.

В лабораторных опытах в тепловом излучении нет ни гравитонов, ни нейтрино и антинейтрино. В горячих звездах становится заметным испускание нейтрино и антинейтрино, но их концентрация мала по сравнению с равновесной, так как нейтрино свободно уходят из звезды. В звездах, подвергающихся коллапсу (превращающихся

в нейтронные звезды или черные дыры), в центре достигаются условия, когда длина пробега мала; уходят диффузионным образом, испытывая много столкновений, имеет место термодинамическое равновесие с горячим обычным веществом. Однако и в этих условиях взаимодействие гравитационных волн с веществом пренебрежимо мало, мала (по сравнению с равновесной, термодинамической) концентрация гравитонов и мала потеря энергии за счет излучения гравитонов.

Обратимся к космологической сингулярности горячей Вселенной. Будем рассматривать изотропно расширяющуюся, однородную горячую космологическую модель с конечным числом сортов частиц с массами покоя порядка барионной или меньше. Другими словами, идея Хагедорна не учитывается. Причины к тому рассматривались выше. При конечном числе сортов частиц на раннем этапе вещество можно считать ультрарелятивистским.

По порядку величины

где планковская масса, планковский момент времени. Газ, в котором есть множество барион-антибарионных пар, остается ультрарелятивистским вплоть до момента сек. После этого момента барион-антибарионные пары аннигилируют, исчезают, в равновесии их нет. Легко убедиться, что уже задолго до этого момента заведомо пренебрежимо мал обмен энергией между обычным веществом и гравитонами, время реакций и гравитоны полностью «заморожены». Температура таких невзаимодействующих гравитонов убывает в ходе расширения обратно пропорционально радиусу мира (подобно нейтрино после отключения) независимо от того, какова температура других видов частиц.

Установление равновесия между гравитонами и другими частицами могло бы произойти только на более ранней стадии ультрарелятивистской температуры. На этой стадии энергия и импульс частиц порядка , т. е. соответственно гораздо больше

В уравнения ОТО входят энергия и импульс частиц. Поскольку речь идет о столкновениях частиц, их масса покоя не существенна, так как она мала по сравнению с полной энергией частицы. Отсюда следует, что вероятность испускания гравитона должна быть пропорциональна множителю Этот множитель отличается от приводимого выше нерелятивистского выражения тем, что произведена замена на

Негравитационное взаимодействие частиц в ультрарелятивистском пределе дает сечение взаимодействия порядка Следовательно, для сечения рождения одного гравитона получается оценка

Это сечение совпадает с квадратом «планковской длины» Для рождения двух гравитонов

Подобно ситуации с испусканием пар в ультрарелятивистской ситуации главную роль играет аннигиляция пар частица — античастица, а не рассеяние.

Здесь можно опереться на результаты пионерской работы Владимирова (1963), в которой точно, по всем правилам квантовой электродинамики, вычислены сечения аннигиляции

В ультрарелятивистском пределе ответ имеет вид

В первое выражение входит электрический заряд частицы; второе выражение справедливо для любых (заряженных или незаряженных) частиц. Конкретный численный множитель относится к аннигиляции частиц со спином 1/2. При энергиях частиц меньше планковской, т. е. когда вероятность одногравитонного процесса больше.

Можно полагать, что для процесса

сечение в ультрарелятивистском пределе равно просто

нет «малости», связанной с электромагнитным взаимодействием, как это было в (7.2.3).

С этими сведениями о вероятности рождения гравитонов попытаемся определить характерный момент отключения гравитонов подобно тому, как это было сделано для нейтрино и антинейтрино. Ответ заранее очевиден из соображений размерности: в ультрарелятивистском режиме нет никакого другого характерного времени, кроме той величины, которую можно составить из

Масса покоя частиц не входит в ответ, поскольку рассматривается ультрарелятивистский газ, Взаимодействие частиц характеризуется безразмерным числом которое порядка единицы для сильного взаимодействия. В принципе в ответ может входить число сортов частиц; однако мы полагаем, что это число порядка единицы (не более 10 или 20), - именно в этом и заключается отказ от гипотезы Хагедорна. Наконец, есть безразмерные числа типа в формуле безразмерное число в законе излучения Планка, в выражении сечения и т. д. Учет всех этих чисел и попытка «более точного» расчета носили бы иллюзорный характер.

В действительности мы имеем дело не с взаимодействием двух частиц в вакууме, а с чрезвычайно плотной плазмой, количественная теория которой не создана.

Вывод из размерностных соображений: установление равновесия не гарантировано, так как по грубому расчету а мы условились считать нижней границей по применимости теории. Этот вывод не изменится, если в несколько раз изменится оценка так как неизвестно, лежит ли граница теории при при или Практически одновременно с выходом нашей книги «Релятивистская астрофизика», где приведены эти оценки, появилась работа Матцнера (1968), в которой сделан противоположный вывод о том, что равновесие между гравитонами и другими частицами имеет место долго, вплоть . К этому выводу автор приходит из рассмотрения рассеяния адронов.

Опыт показывает, что при больших энергиях сечение взаимодействия стремится к константе. Этот вывод согласуется и с современной теорией асимптотики рассеяния частиц.

Опыт и теория относятся к взаимодействию без испускания гравитона. Для того чтобы получить сечение испускания гравитона, автор домножает безгравитонное сечение на

Как нам кажется, в этом месте допущена существенная ошибка.

Дело в том, что в асимптотике постоянное безгравитонное сечение связано с уменьшением угла рассеяния. Средний переданный поперечный импульс стремится к константе, а угол — отношение поперечного импульса к продольному — стремится к нулю. Вероятность излучения гравитонов (с энергией порядка продольной энергии) или классически рассчитанное гравитационное

излучение зависит именно от переданного импульса: рассеяние на малый угол соответственно даст малую амплитуду гравитационной волны. С учетом уменьшения угла Кобзарев и Пешков (1974) приходят к асимптотике эффективного сечения для гравитационного излучения к выводу, который использован нами выше. Итак, в противоположность Матцнеру мы полагаем, что установление равновесия между гравитонами и другими частицами не обеспечено, так как характерное время совпадает с границей применимости теории. Фундаментальная теория допускает как возможность того, что плотность гравитонов меньше равновесной, так и возможность сверхравновесной плотности.

Равновесная плотность на ранней стадии привела бы к в настоящее время, с учетом того, что энтропия адронов в ходе охлаждения при исчезновении адрон-антиадронных пар перекачивается, передается фотонам, но не гравитонам. К этому выводу пришли Альфер и Херман (1953) по аналогии с рассуждениями, приведенными в предыдущем параграфе для нейтрино. Плотность гравитонов может быть намного меньше указанной, если энтропия горячей Вселенной возникла в результате каких-то процессов с адронами после Однако не приведет к какому-либо изменению выводов, относящихся к нуклеосинтезу, росту возмущений, образованию галактик и т. п. В принципе возможна и другая картина: если энтропия зависит от спонтанного рождения частиц на ранней, анизотропной стадии расширения, то можно ожидать преимущественного рождения гравитонов, см. гл. 23.

До сих пор мы говорили исключительно о рождении гравитонов, но очевидно, что в ультрарелятивистском пределе сечения прямого и обратного процессов одинаковы. Значит, гравитоны в том случае, если их концентрация была сверхравновесной, частично передадут свою энергию (и энтропию) другим частицам, но все же останется сверхравновесный (по отношению к температуре других частиц) избыток гравитонов. О возможных пределах этого избытка гравитационного излучения можно судить косвенно по его влиянию на нуклеосинтез. Вывод (см. § 5 этой главы) состоит в том, что В настоящее время это дало бы Такой гравитонный фон никак не повлияет на динамику Вселенной.

В РД-периоде высокая плотность гравитонов приведет к некоторым небольшим количественным изменениям скорости расширения, момента равенства сдвинется и момент рекомбинации водорода. Однако качественные изменения не предвидятся, и поэтому в дальнейшем мы не будем учитывать эту возможность.

Гравитационные волны малой частоты (большой длины волны) следует рассматривать классически, без учета квантовых эффектов. Они взаимодействуют когерентно с большими объемами, заполненными материей. Систематический обзор разных аспектов гравитационного излучения выделен в отдельную главу