§ 6. Уравнения движения с учетом давления

С учетом давления, как показал Толмен (1930) [см. Паули (1958), Уиттакер (1955), ТТ и Э3], ускорение притяжения в ОТО для покоящегося вещества равно

Мы рассматриваем шар небольшого радиуса, скорости расширения в нем малы по сравнению с с, и выражение (1.6.1) остается справедливым, хотя скорости и не в точности равны нулю.

Мак-Кри (1951) использовал приведенное выражение для того, чтобы, пользуясь только ньютоновской механикой и теорией тяготения (с заменой получить закон изменения плотности и расстояний при давлении, сравнимом с плотностью энергии. Ниже воспроизведены его результаты. Рассмотрим снова шар радиуса R, внутри которого (так же как и вовне) все величины постоянны. Уравнение движения имеет вид [см. (1.6.1)]

Мы выведем это уравнение в ОТО в § 1 гл. 2. Здесь мы применим его к анализу космологической проблемы. Общее число сохраняющихся частиц (нуклонов) внутри данного шара постоянно. Поэтому плотность сохраняющихся частиц

зависит от радиуса, как и прежде.

Однако зависимость плотности энергии от радиуса сложнее. Она удовлетворяет уравнению

Замечательно, что совокупность уравнений (1.6.2) и (1.6.4) допускает интеграл движения очень простого и наглядного вида, похожий на (1.2.3).

Умножим (1.6.2) на

Пользуясь (1.6.4), преобразуем выражение в скобках:

Окончательно получим

Таким образом, при учете связи между давлением и энергией оказывается, что в выражение (1.6.5), в член, описывающий тяготение (пропорциональный входит тогда как в выражение для ускорения (1.6.2) входит Для определения константы в правой части (1.6.5) нужно подставить значения величин в настоящий момент, используя равенство Результат получается в точности такой же, как и раньше: знак константы зависит от соотношения фактической плотности в настоящее время и критической плотности

Заметим, что если большая часть вещества состоит из частиц, движущихся со скоростью света то при равной плотности ускорение вдвое больше, чем при так как тогда

Для справки отметим, что критическая плотность соответствует равновесному планковскому излучению с температурой или ферми-распределению нейтрино (ферми-газ при с граничной энергией (при этом их плотность равна нейтрино в

Данные о фактической плотности электромагнитного излучения и нейтрино во Вселенной будут рассмотрены позже.